DISEQUAZIONI FRATTE
- Disuguaglianze e disequazioni
- Disequazioni intere di primo grado
- Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione
- Equazioni frazionarie numeriche
- I polinomi
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come si risolvono le DISEQUAZIONI INTERE, cioè quelle disequazioni che NON CONTENGONO l'INCOGNITA a DENOMINATORE della FRAZIONE.
In questa lezione, invece, ci occuperemo della soluzione delle DISEQUAZIONI FRATTE o frazionarie, cioè di quelle disequazioni che contengono l'INCOGNITA a DENOMINATORE della frazione.
Qualunque sia il tipo di disequazione frazionaria essa è sempre riconducibile al RAPPORTO tra DUE POLINOMI del tipo:
Ovviamente, al posto del simbolo minore e maggiore, ci potranno essere i simboli minore uguale e maggiore uguale.
Per risolvere questo tipo di disequazione dobbiamo:
- ESCLUDERE, dalle possibili soluzioni, quei VALORI che ANNULLANO IL DENOMINATORE così come si è visto per le equazioni fratte. Infatti, se la disequazione avesse valore zero a denominatore perderebbe di significato. Si tratta, in altre parole, di cercare il campo di esistenza della frazione;
- STUDIARE il SEGNO DEL NUMERATORE
e il SEGNO DEL DENOMINATORE
separatamente e, successivamente, il SEGNO
DELLA FRAZIONE. Per fare ciò andiamo a studiare:
- quando il numeratore è positivo;
- quando il denominatore è positivo;
- quando, dividendo il numeratore per il denominatore, otteniamo valori positivi e quando negativi.
Vediamo come fare con un esempio concreto.
Supponiamo di dover risolvere la seguente disequazione:
Partiamo stabilendo il campo di esistenza della frazione. I valori che annullano il denominatore sono tutti quelli per cui
x - 1 = 0
ovvero
x = 1.
Quindi, il campo di esistenza della frazione è
x ≠ 1.
Passiamo a studiare il segno del numeratore e del denominatore.
NUMERATORE:
x + 1 > 0
x > -1
DENOMINATORE:
x - 1 > 0
x > +1
Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:
Ricordiamo che:
- la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;
- la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;
- il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;
- il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.
Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:
- ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;
- o
- ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.
Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:
Abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi per rendere più chiara la spiegazione.
La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 (escluso) e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 (compreso) e -1 (escluso). In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -1 (compreso). In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.
Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono negativa la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando
-1 < x ≤ +1
x compreso tra -1 e +1, quest'ultimo incluso.
Però, la condizione di esistenza della frazione ci diceva che x deve essere diverso da +1 altrimenti il denominatore si annulla. Quindi, dal risultato troviamo dobbiamo escludere +1. La nostra soluzione, quindi, sarà:
-1 < x < +1.
Vediamo un altro esempio:
Iniziamo con lo stabilire il campo di esistenza della frazione. I valori che annullano il denominatore sono tutti quelli per cui
2x - 8 = 0
ovvero
2x = 8
x = 8/ 2
x = 4.
Quindi, il campo di esistenza della frazione è
x ≠ 4.
Passiamo a studiare il segno del numeratore e del denominatore.
NUMERATORE:
3x + 6 > 0
3x > - 6
x > - 6/3
x > 2
DENOMINATORE:
2x - 8 > 0
2x > 8
x > 8/2
x > 4.
Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:
Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:
- ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;
- o
- ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.
Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:
La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +4 (escluso) e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra -2 (compreso) e +4 (compreso). In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -2 (escluso) In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.
Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando
x < -2
e
x > +4
x minore di meno due
e
x maggiore di più quattro.
Tra i risultati trovati non compare il valore che annulla il denominatore (x = 4), quindi essi possono essere accettati.
Vediamo un ultimo esempio: esamineremo il caso nel quale, oltre al segno di minore o maggiore, abbiamo anche quello dell'uguale.
Iniziamo col dire che il campo di esistenza della frazione è
2x - 4 ≠ 0
2x ≠ 4
x ≠ 4/2
x ≠ 2.
Passiamo a studiare il segno del numeratore e del denominatore. Facciamo ora un'osservazione che vale ogni qualvolta dobbiamo risolvere una disequazione nella quale compare anche il segno di uguale (maggiore uguale o minore uguale). In questo caso dobbiamo andare a cercare anche i valori che rendono uguale a zero il primo membro. Ricordiamo che una frazione è uguale a zero quando il suo numeratore è uguale a zero. Pertanto, dobbiamo porre il numeratore maggiore o uguale a zero. Il denominatore, invece, va posto solamente maggiore di zero perché, se il denominatore è uguale a zero la frazione perde di significato. Quindi
NUMERATORE:
x + 1 ≥ 0
x ≥ -1
DENOMINATORE:
2x -4 > 0
2x > 4
x > 4/2
x > 2.
Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:
Ricordiamo che:
- la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;
- la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;
- il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;
- il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.
Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:
- ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;
- o
- ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.
Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:
La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +2 e più infinito. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.
In corrispondenza del valore 2 abbiamo segnato una x ad indicare che la nostra disequazione non può assumere il valore 2 perché altrimenti si annulla il denominatore e la frazione è priva di significato.
La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra +2 e -1 . In questo intervallo uno dei termini della frazione è positivo e l'altro è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.
In corrispondenza del valore -1 abbiamo segnato il valore 0 ad indicare che la nostra disequazione, quando l'incognita assume il valore zero, diventa uguale a zero.
La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -1. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.
Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva o uguale a zero la nostra frazione possiamo dire che ciò accade quando
x ≤ -1
x > 2.
Il 2 va escluso dalle possibili soluzioni perché annulla il denominatore, invece, -1 va compreso perché tale valore rende uguale a zero la frazione.
