PROBLEMI DI PRIMO GRADO DI GEOMETRIA
- Problemi di primo grado
- Equazioni di primo grado ad una incognita
- Sistemi di equazioni di primo grado
- Sistemi nei quali il numero delle equazioni è inferiore a quello delle incognite
Vediamo ora, attraverso degli esempi, come si risolvono i PROBLEMI di PRIMO GRADO di GEOMETRIA
Ricordiamo che nei problemi geometrici l'equazione da impostare è spesso suggerita dai teoremi applicabili al caso concreto.
Esempio 1:
Determinare l'ampiezza degli angoli di un triangolo sapendo che il secondo è pari al primo aumentato di 14°, mentre il primo è pari al terzo diminuito di 28°.
Iniziamo col chiamare x il primo angolo ed y il secondo angolo.
Il terzo angolo lo possiamo esprimere in funzione dei primi due. Infatti noi sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°. Quindi il terzo angolo sarà:
180 - x - y.
I dati del problema ci dicono che il secondo angolo (y) è uguale al primo angolo (x) aumentato di 14°.
Quindi:
y = x + 14.
Mentre il primo angolo (x) è pari al terzo angolo (180 - x - y) diminuito di 28°.
Quindi:
x = (180 - x - y) - 28.
Trovate le due equazioni impostiamo e risolviamo il sistema:
Il primo e il secondo angolo misurano rispettivamente 46° e 60°.
Il terzo angolo misurerà:
180 ° - 46° - 60° = 74°.
Esempio 2:
In un quadrangolo gli angoli opposti al vertice sono supplementari. Il primo angolo è doppio del terzo e la somma della quarta parte del secondo con i 5/7 del quarto supera di 10° la somma del secondo e del terzo. Determinare le ampiezze dei quattro angoli.
Iniziamo col dire che un quadrangolo è una figura piana con 4 angoli.
Gli angoli opposti, cioè quelli che nella figura sotto abbiamo evidenziato col lo stesso colore, sono supplementari.
Nella figura ci siamo limitati ad indicare gli angoli opposti di una quadrangolo e non le loro misure che ancora non conosciamo.
Noi sappiamo che
α= 2γ
1/4β +5/7δ = 10 +β +γ.
Però non possiamo risolvere questo sistema, perché si tratterebbe di un sistema di due equazioni in quattro incognite.
Ma noi sappiamo che gli angoli opposti al vertice sono supplementari, cioè la loro somma è pari a 180°.
Quindi possiamo scrivere:
α = 180 - γ
β = 180 - δ.
Sostituendole nelle due equazioni precedenti avremo:
180 - γ = 2γ
1/4 (180 -δ) +5/7δ = 10 +β +γ.
Ora possiamo scrivere e risolvere il sistema:
Abbiamo trovato il valore di γ e δ.
Poiché sappiamo che
α = 180 - γ
β = 180 - δ
sostituiamo in esse i valori trovati di γ e δ e avremo:
α = 180 - γ = 180 - 60 = 120
β = 180 - δ = 180 - 140 = 40.
Quindi i quattro angoli misurano rispettivamente 120°, 40°, 60°, 140°.
