SENO E COSENO DI UN ANGOLO
Nella lezione precedente abbiamo definito:
- il SENO di un angolo α come l'ORDINATA del punto della circonferenza goniometrica associato a tale angolo;
- e il COSENO di un angolo α come l'ASCISSA dello stesso punto.
Ora vogliamo precisare meglio questi concetti.
Per farlo, iniziamo col disegnare la circonferenza goniometrica, l'angolo α e il punto P.
Disegniamo le proiezioni del punto P sull'asse delle ascisse e su quello delle ordinate
Il SENO dell`angolo α è il RAPPORTO tra il segmento RO, che non è altro che la proiezione del punto P sull'asse delle y, e il segmento PO, che è il raggio della circonferenza.
Quindi:
Ma noi sappiamo che il RAGGIO della circonferenza goniometrica è pari ad 1, quindi possiamo scrivere:
da cui otteniamo
Quindi il SENO dell'angolo α non è altro che il segmento RO, ovvero l'ORDINATA del punto P.
Un discorso del tutto analogo possiamo fare per il coseno.
Il COSENO dell`angolo α è il RAPPORTO tra il segmento QO, che non è altro che la proiezione del punto P sull'asse delle x e il segmento PO, che è il raggio della circonferenza.
Quindi:
Ma noi sappiamo che il RAGGIO della circonferenza goniometrica è pari ad 1, quindi possiamo scrivere:
Quindi il COSENO dell'angolo α non è altro che il segmento QO, ovvero l'ORDINATA del punto P.
Ora chiediamoci perché abbiamo definito il seno come l'ordinata del punto P e il coseno come la sua ascissa.
La circonferenza goniometrica non è necessaria per definire i concetti di seno e coseno che sono, come abbiamo visto poc'anzi, il rapporto tra due grandezze. Tuttavia essa viene utilizzata per una questione di semplicità. Infatti, usando la circonferenza goniometrica, dato che in essa il raggio è 1, il seno e il coseno risultano essere rispettivamente l'ordinata e l'ascissa del punto P.
Soffermiamoci ora su un altro aspetto al quale avevamo già accennato nella lezione precedente: il seno e il coseno sono entrambi il rapporto tra le lunghezze di due segmenti. Quindi ci troviamo di fronte a rapporti tra grandezze omogenee. Per questa ragione essi sono dei NUMERI PURI, in altre parole non sono espressi in nessuna unità di misura.
Nella prossima lezione continueremo ancora a parlare di seno e coseno.
