ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI RICONDUCIBILI AL PRODOTTO DI FATTORI DI PRIMO GRADO
- Come si risolvono le disequazioni
- Rappresentazione delle soluzioni di una disequazione
- Disequazioni riconducibili ad un prodotto
Esercizio 20
Risolvere la seguente disequazione:
x2 – 1 < 0
Svolgimento
Qui ci troviamo di fronte ad una disequazione di secondo grado. Però essa è riconducibile al prodotto di fattori di primo grado.
Infatti x2 – 1 non è altro che la differenza del quadrato di due monomi. Essa può essere scomposta nel prodotto della somma dei due monomi per la loro differenza. Ovvero:
x2 – 1 = (x + 1) (x –1).
Quindi la nostra disequazione può essere scritta così:
(x + 1) (x –1) < 0.
La REGOLA dei SEGNI, appresa dallo studio dei numeri relativi, ci dice che un prodotto è positivo quando:
- entrambi i fattori sono positivi;
- oppure entrambi i fattori sono negativi.
Il primo fattore, x + 1, è positivo quando:
x + 1 > 0
cioè
x > -1.
Il secondo fattore, x - 1, è maggiore di zero quando:
x - 1 > 0
cioè
x > +1.
Ora rappresentiamo i risultati ottenuti sulla retta orientata. Indichiamo:
- due linee. Una rappresenta i valori assunti dal primo fattore x + 1 e l’altra i valori assunti dal secondo fattore x - 1;
- con un pallino pieno i valori che annullano il fattore;
- con la linea continua i valori che rendono positivo il fattore;
- con la linea discontinua i valori che rendono negativo il fattore.
Esaminiamo il grafico.
Il primo fattore x + 1, assume valori positivi per x maggiori di -1 e assume valori negativi per x minori di -1.
Il secondo fattore x - 1, assume valori positivi per x maggiori di +1 e assume valori negativi per x minori di 1.
Ora studiamo il segno della nostra disequazione che non è altro che il prodotto dei due fattori.
Abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi per rendere più chiara la spiegazione.
La parte di grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 e +∞. In questo intervallo noi andiamo a moltiplicare due fattori entrambi positivi, quindi il prodotto, come abbiamo indicato in basso con il segno +, è positivo.
La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra -1 e +1. In questo intervallo noi andiamo a moltiplicare due fattori di cui uno positivo e l’altro negativo, quindi il prodotto, come abbiamo indicato in basso con il segno -, è negativo.
La parte del grafico contraddistinta dal colore arancio, rappresenta l'intervallo compreso tra -∞ e -1. In questo intervallo noi andiamo a moltiplicare due fattori entrambi negativi, quindi il prodotto, come abbiamo indicato in basso con il segno +, è positivo.
Osserviamo ora cosa accade in corrispondenza dei valori -1 e 1.
Ricordiamo che il cerchietto pieno indica che il fattore, in corrispondenza di quel valore si annulla.
Per la legge di annullamento del prodotto se un fattore è zero anche il prodotto è zero, quindi in questi due punti la disequazione si annulla.
A noi interessa sapere quando la disequazione è negativa, cioè quando il nostro prodotto è negativo.
Ricapitolando abbiamo che il prodotto è negativo per:
-1 < x < +1
Altri modi per indicare lo stesso risultato sono:
{x ∈ R : -1 < x < -1}
oppure
] -1 ; +1 [
Graficamente, il risultato sarà indicato così come abbiamo visto in precedenza:
o più semplicemente così:
