EQUAZIONE DI SECONDO GRADO AVENTE DATE SOLUZIONI
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
- Fattorizzazione di un trinomio di secondo grado
- Relazione tra i coefficienti e le radici di un'equazione di secondo grado
- Raccoglimento a fattor comune parziale
Immaginiamo di avere un TRINOMIO di secondo grado del tipo
ax2 +bx + c = 0.
In una lezione precedente abbiamo appreso che, nel caso in cui il DISCRIMINANTE è POSITIVO tale trinomio può essere scritto sotto forma del prodotto:
ax2 +bx +c = a (x - x1) (x - x2).
Ora poniamo
a = 1.
Il nostro trinomio diventa
x2 + bx +c = (x - x1) (x - x2).
Eseguiamo il prodotto indicato a secondo membro e avremo (si legga anche Relazioni tra coefficienti e radici di un'equazione di secondo grado):
x2 +bx +c = x2 -xx2 -xx1 +x1x2.
Mettiamo in evidenza -x tra il primo e il secondo addendo:
x2 +bx +c = x2 -x(x2 +x1) +x1x2.
che possiamo scrivere anche come:
x2 -x(x1 +x2) +x1x2.
Quindi un TRINOMIO di SECONDO GRADO, il cui COEFFICIENTE del TERMINE di SECONDO GRADO è 1, può essere scritto come:
- l'INCOGNITA al QUADRATO;
- MENO l'INCOGNITA che MOLTIPLICA la SOMMA delle RADICI;
- PIU' il PRODOTTO DELLE RADICI.
La relazione appena trovata risulta utile quando conosciamo due numeri e dobbiamo risalire all'equazione di cui essi sono le radici.
Esempio:
vogliamo scrivere l'equazione di secondo grado che ha per soluzioni 1 e 2.
Ciò significa che:
x1 = 1
x2 = 2.
Quindi
x2 -x(x1 +x2) +x1x2 = x2 - x(1 +2) + 1·2=
= x2 - x - 2x + 2 = x2 - 3x + 2
Possiamo verificare che le soluzioni di questa equazione sono 1 e 2.
Vediamo un altro esempio: vogliamo scrivere l'equazione di secondo grado che ha per soluzioni -2 e +3.
Ciò significa che:
x1 = -2
x2 = +3.
Quindi
x2 -x(x1 +x2) +x1x2 = x2 - x(-2 + 3) + (-2)·(3)=
= x2 +2x - 3x -6 = x2 -x - 6
Anche in questo caso possiamo verificare che le soluzioni di questa equazione sono -2 e +3.
Quindi possiamo affermare che per avere un'equazione di secondo grado, le cui soluzioni siano due numeri dati, si prende:
- il PRIMO COEFFICIENTE uguale all'UNITA';
- il SECONDO COEFFICIENTE uguale alla SOMMA dei NUMERI CAMBIATA di SEGNO;
- il TERMINE NOTO uguale al PRODOTTO dei NUMERI dati.
