REGOLA DI CARTESIO
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Equazioni di secondo grado complete
- Discriminante di un'equazione di secondo grado
- Relazione tra i coefficienti e le radici di un'equazione di secondo grado
- Monomi simili, monomi uguali, monomi opposti
In una equazione di secondo grado ridotta a forma tipica, si chiama PERMANENZA il succedersi di due segni uguali nei coefficienti di due termini contigui.
Esempi:
4x2 + 3x - 2 = 0
si dice che dal primo al secondo termine c'è una permanenza, poiché i segni del primo coefficiente (+4) e del secondo (+3) sono gli stessi.
-2x2 + x + 8 = 0
si dice che dal secondo al terzo termine c'è una permanenza, poiché i segni del secondo coefficiente (+1) e del termine noto (+8) sono gli stessi.
In una equazione di secondo grado ridotta a forma tipica, si chiama VARIAZIONE il mutamento di segno nei coefficienti di due termini contigui.
Esempi:
4x2 + 3x - 2 = 0
si dice che dal secondo al terzo termine c'è una variazione, poiché il segno del secondo coefficiente (+3) e del termine noto (-2) sono opposti.
-2x2 + x + 8 = 0
si dice che dal primo al secondo termine c'è una variazione, poiché i segni del primo coefficiente (-2) e del secondo coefficiente (+1) sono opposti.
Fatte queste premesse possiamo enunciare la REGOLA DI CARTESIO detta anche REGOLA DEI SEGNI.
Essa afferma che:
Se un'equazione di secondo grado, completa, ridotta a forma tipica, ha soluzioni
- ad OGNI PERMANENZA corrisponde una SOLUZIONE NEGATIVA;
- ad OGNI VARIAZIONE corrisponde una SOLUZIONE POSITIVA.
Quando l'equazione ha UNA SOLUZIONE POSITIVA e UNA SOLUZIONE NEGATIVA, delle due soluzioni ha VALORE ASSOLUTO MAGGIORE la positiva o la negativa, a seconda che i SEGNI DEI PRIMI DUE TERMINI presentano una VARIAZIONE o una PERMANENZA.
Cerchiamo di comprenderne il perché.
Partiamo dall'equazione di secondo grado completa e ridotta a forma tipica, ovvero:
ax2 + bx + c = 0.
Ipotizziamo il caso in cui
Δ = b2 - 4ac > 0.
L'equazione ha due soluzioni x1 e x2.
Inoltre chiamiamo con S la somma di x1 e x2 e P il prodotto di x1 e x2:
S = x1 + x2
P = x1x2.
Noi sappiamo, anche, da una precedente lezione che:
S = -b/a
P = c/a .
Ora si potranno avere quattro casi distinti:
-
a
> 0
b > 0
c > 0
2 permanenze
S = -b/a < 0
P = c/a > 0
Essendo P > 0 e poiché P = x1x2 le due radici hanno lo stesso segno.
Ma poiché S < 0 e S = x1 + x2 e le due radici devono avere lo stesso segno, significa che esse sono entrambe negative.
2 permanenze = 2 soluzioni negative - a
> 0 b < 0
c < 0
1 variazione
1 permanenza
S = -b/a > 0
P = c/a < 0
Essendo P < 0 e poiché P = x1x2 le due radici hanno segno opposto.
Ma poiché S > 0 e S = x1 + x2 la radice con segno positivo deve avere valore assoluto maggiore.
Tra il primo e il secondo termine c'è una variazione: delle due soluzioni ha valore assoluto maggiore quella positiva -
a
> 0 b > 0
c < 0
1 permanenza
1 variazione
S = -b/a < 0
P = c/a < 0
Essendo P < 0 e poiché P = x1x2 le due radici hanno segno opposto.
Ma poiché S < 0 e S = x1 + x2 la radice con segno negativo deve avere valore assoluto maggiore.
Tra il primo e il secondo termine c'è una permanenza: delle due soluzioni ha valore assoluto maggiore quella negativa -
a
> 0
b < 0
c > 0
2 variazioni
S = -b/a > 0
P = c/a > 0
Essendo P > 0 e poiché P = x1x2 le due radici hanno lo stesso segno.
Ma poiché S > 0 e S = x1 + x2 e le due radici devono avere lo stesso segno, significa che esse sono entrambe positive.
2 variazioni = 2 soluzioni positive
I casi nei quali a è negativo sono riconducibili ai quattro precedenti, cambiando di segno all'equazione.
Come esempio applichiamo la regola di Cartesio alla seguente equazione:
2x2 - 3x + 1 = 0.
Innanzitutto deve essere
Δ = b2 - 4ac > 0.
Nel nostro caso la condizione è verifica, infatti:
Δ = (-3)2 - 4 = 9 - 8 = 1.
Possiamo affermare che
a = +2 > 0
b = -3 < 0
c = +1 > 0
2 variazioni
2 soluzioni positive
Verifichiamolo:
