PROPRIETA' DEL MASSIMO COMUN DIVISORE
Vediamo, di seguito, alcune PROPRIETA' relative al M.C.D. di due o più numeri.
- Quando cerchiamo il M.C.D.
tra PIU' NUMERI, uno di essi può essere OMESSO
se è MULTIPLO di un altro.
Esempio:
M.C.D. (6; 15; 24).
In questo caso 24 è multiplo di 6, quindi 24 può essere omesso e avremo:
M.C.D. (6; 15).
Quindi, scomponendo in fattori primi, avremo:
6 = 2 x 3
15 = 3 x 5.
M.C.D. (6; 15) = 3.
Infatti, se non avessimo tralasciato il numero 24 saremmo giunti allo stesso risultato:
6 = 2 x 3
15 = 3 x 5
24 = 23 x 3
M.C.D. (6; 15; 24) = 3.
- Dati due o più numeri, se li DIVIDIAMO
per uno stesso
numero che sia un loro DIVISORE COMUNE o
li MOLTIPLICHIAMO per uno
stesso numero,
anche il loro M.C.D. viene DIVISO
o MOLTIPLICATO per quel numero.
Esempio:
M.C.D. (30; 72).
Scomponendo in fattori primi, avremo:
30 = 2 x 3 x 5
72 = 23 x 32.
M.C.D. (30; 72) = 2 x 3 = 6.
Vogliamo ora dividere entrambi i numeri dati 30 e 72 per 3 che, come possiamo notare, è un divisore comune ad entrambi. Avremo quindi:
30 : 3 = 10
72 : 3 = 24.
Ora, cerchiamo il M.C.D. tra 10 e 24.
10 = 2 x 5
24 = 23 x 3
M.C.D. (10; 24) = 2.
Come possiamo notare, avendo diviso per 3 i numeri dati, 30 e 72, anche il loro M.C.D., che prima era 6, ora risulta diviso per 3 essendo 2.
Vediamo ora cosa accade se moltiplichiamo entrambi i numeri per uno stesso numero. Ad esempio, moltiplichiamo 30 e 72 per 5. Avremo:
30 x 5 = 150
72 x 5 = 360.
Ora, cerchiamo il M.C.D. tra 150 e 360.
150 = 2 x 3 x 52
360 = 23 x 32 x 5
M.C.D. (150; 360) = 2 x 3 x 5 = 30.
Come possiamo notare, avendo moltiplicato per 5 i numeri dati, 30 e 72, anche il loro M.C.D., che prima era 6, ora risulta moltiplicato per 5 essendo 30.
ATTENZIONE!!! La regola vale se DIVIDIAMO tutti i numeri dei quali stiamo cercando il M.C.D. per un DIVISORE COMUNE tra loro. Mentre nel caso di MOLTIPLICAZIONE è sufficiente che i numeri dati siano moltiplicati per uno STESSO NUMERO.
La regola che abbiamo appena visto può essere utile quando stiamo cercando il M.C.D. di numeri che terminano tutti con lo zero.
In questo caso si può procedere nel modo seguente: si dividono i numeri dati per il divisore comune 10 o 100 o 1.000, ecc.., a seconda del numero di zeri presenti a destra dei numeri dati.
Poi si trova il M.C.D. dei numeri ottenuti.
Infine si moltiplica il risultato ottenuto per 10, 100, 1.000, ecc... a seconda di quello che è stato il divisore comune per il quale abbiamo diviso inizialmente i numeri dati.
Esempi:
M.C.D. (30; 60)
dividiamo entrambi i numeri per 10 e cerchiamo il M.C.D. tra 3 e 6.
M.C.D. (3; 6)
3 = 3
6 = 2 x 3
M.C.D. (3; 6) = 3.
Moltiplichiamo il risultato ottenuto per 10: 3 x 10 = 30. Questo sarà il M.C.D. dei numeri dati.
M.C.D. (30; 60) = 30.
Vediamo un altro esempio.
M.C.D. (1.500; 3.600)
dividiamo entrambi i numeri per 100 e cerchiamo il M.C.D. tra 15 e 36.
M.C.D. (15; 36)
15 = 3 x 5
36 = 22 x 32
M.C.D. (15; 36) = 3.
Moltiplichiamo il risultato ottenuto per 100: 3 x 100 = 300. Questo sarà il M.C.D. dei numeri dati.
M.C.D. (1.500; 3.600) = 300.
Vediamo un ultimo esempio.
M.C.D. (1.300; 26.000).
In questo caso i due numeri dati non hanno lo stesso numeri di zeri a destra. Poiché dobbiamo dividere per il divisore comune esso sarà 100. Quindi cerchiamo il M.C.D. tra 13 e 260.
M.C.D. (13; 260)
13 = 13
260 = 22 x 5 x 13
M.C.D. (13; 260) = 13.
Moltiplichiamo il risultato ottenuto per 100: 13 x 100 = 130. Questo sarà il M.C.D. dei numeri dati.
M.C.D. (1.300; 26.000) = 130.
