QUADRILATERI CIRCOSCRITTI
- Poligoni circoscritti
- La circonferenza e il cerchio
- Quadrilateri
- Figure geometriche equivalenti e figure geometriche congruenti
- Incentro
Nella lezione precedente abbiamo affermato che un triangolo si può sempre circoscrivere ad una circonferenza.
Ora chiediamoci: "E i QUADRILATERI sono sempre circoscrittibili?".
Consideriamo il QUADRILATERO A, B, C, D CIRCOSCRITTO:
Segniamo i punti nei quali i lati del poligono sono tangenti alla circonferenza. Li chiamiamo E, F, G, H:
Se misuriamo i segmenti EB e BF notiamo che essi sono CONGRUENTI.
Sono pure congruenti FC e CG, GD e DH, HA e AE.
Quindi possiamo scrivere:
che si legge
EB è congruo a BF
FC è congruo a CG
GD è congruo a DH
HA è congruo a AE.
Ora consideriamo i lati opposti del quadrilatero AB e DC, BC e DA.
Possiamo scrivere:
AB = AE + E B
DC = DG + G C
e
BC = BF + F C
DA = DH + H A.
Ora sommiamo tra loro i lati opposti:
AB + DC
e
BC + DA.
Poiché AB è la somma di AE e EB e DC è la somma di DG + GC possiamo scrivere:
AB + DC = AE + EB + DG + GC
Mentre la seconda somma può essere scritta così:
BC + DA = BF + FC + DH + HA
Confrontiamo ora tali somme:
AB + DC = AE + EB + DG + GC
BC + DA = BF + FC + DH + HA
ed evidenziamo con colori uguali i segmenti tra loro congruenti:
AB + DC =AE + EB + DG + GC
BC + DA = BF + FC + DH + HA
Ordiniamo le due somme in modo diverso:
AB + DC = AE + EB +DG + GC
BC + DA = HA + BF + DH + FC .
Quindi possiamo dire che:
AE + EB + DG + GC = HA + BF + DH + FC
e di conseguenza anche
AB + DC = BC + DA.
Quindi possiamo concludere che un QUADRILATERO può essere CIRCOSCRITTO ad una circonferenza se la SOMMA DEI LATI OPPOSTI è UGUALE. Se questa condizione si verifica esiste un unico incentro.
Quindi, tornando alla domanda iniziale possiamo dire che non tutti i quadrilateri sono circoscrittibili. Nella prossima lezione vedremo meglio quali quadrilateri lo sono.
