SIMILITUDINE E POLIGONI REGOLARI
Nella lezione precedente abbiamo detto che due POLIGONI si dicono SIMILI quando hanno gli ANGOLI CORRISPONDENTI ordinatamente CONGRUENTI e i LATI CORRISPONDENTI PROPORZIONALI.
Ora consideriamo due POLIGONI REGOLARI:
Nel nostro caso abbiamo disegnato due pentagoni.
Ricordiamo che un POLIGONO si dice REGOLARE quanto è:
- EQUILATERO, cioè i lati hanno tutti la stessa lunghezza;
- EQUIANGOLO, cioè gli angoli hanno tutti la stessa ampiezza.
DUE POLIGONI REGOLARI dello STESSO NUMERO DI LATI (quindi due triangoli equilateri, due quadrati, due pentagoni regolari, due esagoni regolari, ecc....) sono sempre SIMILI.
Cerchiamo di capire il perché. Esaminiamo il caso di due pentagoni regolari, come quelli del nostro disegno.
Dallo studio dei poligoni sappiamo che la somma degli angoli interni di un pentagono è pari a:
(5 - 2) x 180° = 3 x 180° = 540°.
Poiché il nostro poligono è un poligono regolare, tutti gli angoli hanno la stessa ampiezza, quindi l'ampiezza di un angolo si otterrà dividendo la somma degli angoli interni per 5 angoli:
540° : 5 = 108°.
Quindi, se il pentagono è regolare, ogni suo angolo ha sempre un'ampiezza di 108°. Di conseguenza, sicuramente gli angoli corrispondenti sono congruenti.
Ora passiamo ad esaminare i lati. Immaginiamo che due lati corrispondenti abbiano un rapporto di similitudine di 1/2.
Noi sappiamo che i due poligoni sono regolari, quindi, ognuno di essi ha tutti i lati della stessa lunghezza. Di conseguenza il rapporto di similitudine tra i vari lati corrispondenti sarà sempre lo stesso.
Quindi, poiché gli angoli hanno tutti la stessa ampiezza e il rapporto di similitudine dei lati corrispondenti è lo stesso i due POLIGONI sono SIMILI.
Chiaramente la dimostrazione appena vista può essere ripetuta anche con altri tipi di poligoni regolari diversi dal pentagono.
