PROBLEMI DI PRIMO GRADO A DUE INCOGNITE
- Problemi di primo grado
- Equazioni di primo grado ad una incognita
- Sistemi di equazioni di primo grado
- Frazioni proprie, improprie ed apparenti
Vediamo ora, attraverso degli esempi, come si risolvono i PROBLEMI di PRIMO GRADO a DUE INCOGNITE.
Quando parliamo di PROBLEMI di PRIMO GRADO a DUE INCOGNITE intendiamo dei problemi che possono essere risolti con un SISTEMA di due EQUAZIONI di PRIMO GRADO a DUE INCOGNITE.
Esempio 1:
Trovare due numeri sapendo che aggiungendo 12 al maggiore si ottiene il doppio della somma di 5 con il minore e che sottraendo 2 dal maggiore si ottiene il triplo della differenza tra il minore e 3.
Iniziamo col chiamare x e y i due numeri. In particolare consideriamo che
- x è il numero maggiore;
- y è il numero minore.
Ora sappiamo che aggiungendo 12 al maggiore, cioè alla x, si ottiene il doppio della somma di 5 con il minore, cioè la y.
Quindi:
12 + x = 2 (5 +y).
Inoltre sappiamo che sottraendo 2 dal maggiore, cioè alla x, si ottiene il triplo della differenza tra il minore, cioè la y, e il numero 3.
Quindi:
x - 2 = 3 (y - 3).
Trovate le due equazioni impostiamo e risolviamo il sistema:
I due numeri sono 8 e 5.
Esempio 2:
Un numero è formato da tre cifre la cui somma è pari a 11. La cifra delle decine è il doppio della cifra delle centinaia. Scambiando tra loro la cifra delle decine e quella delle centinaia il numero aumenta di 270. Qual è questo numero?
Il nostro numero ha tre cifre. Chiamiamo con U la cifra delle unità, con D quella delle decine e con C quella delle centinaia.
Il nostro numero sarà:
C D U
Noi sappiamo che la cifra delle decine è il doppio di quella delle centinaia. Quindi:
C D U
C
2C
U
Ora indichiamo con
- x la cifra delle centinaia;
- y la cifra delle unità.
Possiamo scrivere:
C D U
C 2C U
x 2x y
La somma di queste tre cifre è 11. Quindi la nostra prima equazione è :
x + 2x + y =11.
Sappiamo poi che, se scambiamo tra loro la cifra delle decine e quella delle centinaia, il numero aumenta di 270.
Iniziamo col dire che il nostro numero può essere espresso così:
100C + 10D + y
ovvero
100x + (10) 2x + y.
Cerchiamo di capire il perché con un esempio numerico. Se io avessi il numero 325:
- 3, 2, 5 sono le tre cifre del numero;
- il numero può essere espresso
come
3 · 100 + 2 · 10 + 5.
Noi sappiamo che se cambiamo tra loro la cifra delle decine e quella delle centinaia, il numero aumenta di 270.
Cambiando la cifra delle decine con quella delle centinaia le tre cifre del numero sarebbero:
NUMERO DI PARTENZA:
C
D
U
NUMERO CON CIFRE SPOSTATE:
D
C
U
NUMERO DI PARTENZA:
C
2C
U
NUMERO CON CIFRE SPOSTATE:
2C
C
U
NUMERO DI PARTENZA:
x
2x
y
NUMERO CON CIFRE SPOSTATE:
2x
x
y
Il primo numero abbiamo detto che può essere espresso così:
100x + (10) 2x + y.
Il secondo numero può essere espresso così:
200x + (10) x + y.
La relazione che lega i due numeri è che il secondo supera di 270 il primo, quindi:
100x + (10) 2x + y = 200x + (10) x + y +270.
Ovvero
100x + 20x + y = 200x + 10x + y +270.
Trovate le due equazioni impostiamo e risolviamo il sistema:
Quindi il nostro numero sarà:
C D U
C 2C U
x 2x y
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Esempio 3:
In una frazione impropria la differenza tra i termini è 13. Aggiungendo 10 al numeratore e 2 al denominatore si ottiene una nuova frazione il cui numeratore è quadruplo del denominatore. Determinare la frazione.
Indichiamo con x ed y i termini della frazione. In particolare:
- x è il numeratore della frazione;
- y è il denominatore della frazione.
Quindi la nostra frazione sarà:
x/ y
Essendo la frazione impropria significa che
x > y.
Ora sappiamo che la differenza tra i termini della frazione è 13. Quindi:
x - y = 13.
Ora sommiamo 10 al numeratore e 2 al denominatore avremo:
(x + 10)/ (y+2).
Questa nuova frazione è uguale ad una frazione il cui numeratore è quadruplo del denominatore. Ma se il denominatore della nostra frazione è
(y+2)
la nuova frazione può essere espressa come
4(y+2)/ (y+2).
Quindi:
(x + 10)/ (y+2) = 4(y+2)/ (y+2).
Trovate le due equazioni impostiamo il sistema e risolviamo:
Quindi la nostra frazione è 18/5.
