RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO COMPLETE
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Equazioni di secondo grado complete
- Quadrato di un binomio
- Radice quadrata
Come abbiamo visto in una delle precedenti lezioni un'EQUAZIONE di SECONDO GRADO del tipo:
ax2 + bx + c = 0
si dice COMPLETA o RIDOTTA A FORMA NORMALE.
Prima di vedere come si risolve tale equazione, iniziamo con l'esaminare alcuni casi pratici.
Esempio:
4x2 + 8x + 4 = 16.
Possiamo notare che al primo membro abbiamo il QUADRATO di UN BINOMIO, esattamente di 2x +2.
Allora scriviamo:
(2x +2)2 = 16.
Per trovare il valore della x calcoliamo la RADICE QUADRATA del primo e del secondo membro. Avremo:
Le soluzioni dell'equazione saranno:
2x + 2 = - 4
2x + 2 = + 4.
Risolviamo la prima di esse avremo:
2x + 2 = -4
2x = - 4 - 2
2x = -6
x = -6/2
x = -3.
Risolviamo la seconda di esse e avremo:
2x + 2 = +4
2x = + 4 -2
2x = +2
x = +2/2
x = 1.
Quindi le soluzioni della nostra equazione sono:
x1 = -3 e x2 = 1.
Ora proviamo a risolvere questa equazione:
4x2 + 8x + 3 = 0.
Se al posto di 3 noi sostituiamo 4 - 1 avremo:
4x2 + 8x + 4 - 1 = 0.
In questo modo i primi tre termini dell'equazione sono il QUADRATO di UN BINOMIO, esattamente di 2x +2.
Allora scriviamo:
(2x +2)2 - 1 = 0
(2x +2)2 = 1.
Per trovare il valore della x calcoliamo la RADICE QUADRATA del primo e del secondo membro. Avremo:
Le soluzioni dell'equazione saranno:
2x + 2 = - 1
2x + 2 = + 1.
Risolviamo la prima di esse avremo:
2x + 2 = -1
2x = - 1 - 2
2x = -3
x = -3/2.
Risolviamo la seconda di esse e avremo:
2x + 2 = +1
2x = +1 -2
2x = -1
x = -1/2.
Quindi le soluzioni della nostra equazione sono:
x1 = -3/2 e x2 = -1/2.
Gli esempi fin qui visti ci permettono di comprendere che per risolvere una equazione di secondo grado completa dobbiamo cercare di TRASFORMARLA in una UGUAGLIANZA che vede a primo membro un il QUADRATO di un BINOMIO e a secondo membro un NUMERO.
Vediamo come possiamo applicare questa regola al caso generale. Data l'equazione:
ax2 + bx + c = 0
cerchiamo di trasformarla in una uguaglianza che abbia a primo membro il quadrato di un binomio e a secondo membro un numero.
Iniziamo col portare c a secondo membro
ax2 + bx = - c.
Moltiplichiamo entrambi i membri per 4a:
4a (ax2 + bx) = (- c) 4a
4a2x2 + 4abx = -4ac.
In questo modo il primo termine dell'equazione (4a2x2) è il quadrato di 2ax.
Il secondo termine dell'equazione (4abx) è il doppio prodotto tra 2ax e b. Quindi, al primo termine manca b2 per avere il quadrato di un binomio. Allora aggiungiamo a primo e secondo membro b2.
4a2x2 + 4abx + b2 = b2- 4ac.
In questo modo, a primo membro abbiamo il quadrato di 2ax + b. Quindi, possiamo scrivere:
(2ax + b)2 = b2 - 4ac.
Poniamo sotto radice quadrata il primo e il secondo membro e avremo:
Ora estraiamo la radice e risolviamo in modo da trovare la x. Avremo:
Quella che abbiamo appena trovato si dice FORMULA RISOLUTIVA dell'equazione di secondo grado.
Quindi, data l'equazione
ax2 + bx + c = 0
le sue soluzioni sono:
b2 - 4ac
prende il nome di DISCRIMINANTE. Di esso parleremo nella lezione successiva.
