PROBLEMI DI SECONDO GRADO DI GEOMETRIA
- Problemi di secondo grado
- Sistemi di equazioni di secondo grado
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Quadrato di un binomio
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
- Teorema di Pitagora: dimostrazione
Equazioni di secondo grado e sistemi di secondo grado possono essere utilizzati anche per risolvere dei PROBLEMI DI GEOMETRIA.
Ricordiamo che nei problemi geometrici l'equazione da impostare è spesso suggerita dai teoremi applicabili al caso concreto.
Vediamo alcuni esempi di problemi geometrici di secondo grado.
Esempio 1:
L'area di un triangolo isoscele è di 588 metri quadrati. L'altezza del triangolo è i 2/3 della base. Trovare quanto misura la base e quanto misura l'altezza.
Iniziamo col chiamare b la base ed h l'altezza: esse sono le nostre incognite. Ovviamente avremmo potuto usare anche x ed y. Ma abbiamo preferito usare b ed h perché il loro impiego ci sembra più semplice.
L'area del triangolo, pari a 588 m2, sappiamo che è data da base per altezza. Quindi possiamo scrivere:
b∙h =588.
Poiché noi abbiamo due incognite (b ed h) dobbiamo impostare un sistema di due equazioni in due incognite.
Vediamo, allora, qual è la seconda equazione.
Noi sappiamo che l'altezza del triangolo (cioè h) è pari ai 2/3 della base (cioè i 2/3 di b). Quindi possiamo scrivere
h = 2/3 b.
Quindi, il nostro sistema sarà:
Risolviamo il sistema e avremo:
Abbiamo trovato il valore di b, cioè della base: trattandosi di un segmento prenderemo solamente il valore con segno positivo, quindi +42. Sostituiamo tale valore nella seconda equazione e otteniamo:
Quindi il nostro triangolo ha la base di 42 centimetri e l'altezza di 28 centimetri.
Esempio 2:
Calcolare le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo sapendo che il cateto maggiore e l'ipotenusa superano, rispettivamente, di 7 m e di 8 m il cateto minore.
Chiamiamo con:
cm - il cateto minore
cM - il cateto maggiore
i - l'ipotenusa.
Noi sappiamo che il cateto maggiore supera il cateto minore di 7 m. Cioè:
cM = cm + 7
e che l'ipotenusa supera il cateto minore di 8 m. Cioè:
i = cm + 8
inoltre dal teorema di Pitagora noi sappiamo che in un triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruite sui cateti, cioè:
cM2 + cm2 = i2.
Ora, sostituiamo a cM, cm + 7 e ad i sostituiamo cm + 8, avremo:
(cm + 7)2 + cm2 = (cm + 8)2.
Abbiamo così scritto un'equazione in una sola incognita. Risolviamo:
cm2 + 49 + 14cm + cm2 = cm2 + 64 +16cm
cm2 + cm2 - cm2 + 14cm - 16cm + 49 - 64 = 0
cm2 - 2cm - 15 = 0.
Poiché cm rappresenta una lunghezza escludiamo il risultato negativo: quindi il risultato cercato sarà 5.
Ora possiamo trovare quanto misurano il cateto maggiore e l'ipotenusa:
cM = cm + 7 = 5 +7 = 12
i = cm + 8 = 5 + 8 = 13.
