GRAFICO DELLA FUNZIONE SENO
- Angoli orientati
- Circonferenza goniometrica
- Seno e coseno
- Funzioni goniometriche fondamentali
- Variazioni delle funzioni seno e coseno
Nella lezione precedente abbiamo visto che il SENO di un angolo può assumere valori compresi tra -1 e 1.
In questa lezione vedremo come possiamo rappresentare graficamente la funzione seno, cioè la funzione
y = sen α
e quali caratteristiche ha questa funzione.
Iniziamo col vedere come disegnare la FUNZIONE SENO.
Disegniamo gli assi cartesiani:
Riporteremo:
- sull'asse delle ASCISSE i valori degli ANGOLI;
- sull'asse delle ORDINATE il corrispondente valore del SENO.
Per rendere più semplice la costruzione del nostro grafico, affianchiamo agli assi cartesiani la circonferenza goniometrica:
Adesso, per ogni angolo della circonferenza goniometrica, prendiamo sull'asse delle ascisse la lunghezza del corrispondente arco. Per quanto riguarda l'asse delle ordinate tracciamo una linea orizzontale che va dal punto goniometrico associato all'angolo, fino al valore dell'angolo riportato sull'ascissa.
Vediamo come fare.
Partiamo dall'angolo di ampiezza 0. Indichiamo l'angolo sugli assi cartesiani nel punto dell'origine. Quando l'angolo vale 0 il suo seno è 0, quindi il primo punto sugli assi cartesiani sarà quello di coordinate (0 ; 0) dove il primo valore rappresenta l'ampiezza dell'angolo, mentre il secondo valore rappresenta il seno dell'angolo di ampiezza 0.
Ora segniamo sulla circonferenza gonomiometrica l'angolo di ampiezza π/6 e riportiamo tale valore anche sull'ascissa degli assi cartesiani.
Tracciamo una linea orizzontale che va dal punto associato a tale angolo fino al valore di π/6 segnato sull'asse delle ascisse. Abbiamo disegnato il secondo punto sugli assi cartesiani.
Passiamo a segnare sulla circonferenza gonomiometrica l'angolo di ampiezza π/4 e riportiamo tale valore anche sull'ascissa degli assi cartesiani.
Ora tracciamo una linea orizzontale che va dal punto associato a tale angolo fino al valore di π/4 segnato sull'asse delle ascisse. Abbiamo disegnato il terzo punto sugli assi cartesiani.
Proseguiamo indicando sulla circonferenza gonomiometrica l'angolo di ampiezza π/3 e riportiamo tale valore anche sull'ascissa degli assi cartesiani.
Ora tracciamo una linea orizzontale che va dal punto associato a tale angolo fino al valore di π/3 segnato sull'asse delle ascisse. Abbiamo trovato il quarto punto del nostro grafico.
Arriviamo al valore di π/2 che segniamo sulla circonferenza goniometrica e riportiamo anche sull'ascissa degli assi cartesiani.
Tracciamo la solita linea orizzontale che va dal punto associato a tale angolo fino al valore di π/2 segnato sull'asse delle ascisse. Ed abbiamo ottenuto ancora un punto del nostro grafico.
Proseguiamo allo stesso modo con altri angoli della circonferenza goniometrica e colleghiamo tra loro i punti individuati sugli assi cartesiani mediante una linea.
Quello che abbiamo disegnato è il GRAFICO della FUNZIONE SENO: in modo particolare si tratta della porzione del grafico della funzione seno per α compreso tra 0° e 360°.
Ora vediamo quali sono le caratteristiche di questa funzione.
La curva che rappresenta la funzione seno ha una forma che viene detta SINUSOIDE.
La funzione, all'origine degli assi, vale zero dato che il seno dell'angolo di ampiezza zero è zero.
Essa è una FUNZIONE LIMITATA dato che tutti i suoi valori sono compresi tra -1 e +1.
La funzione è PERIODICA. Si dice periodica una funzione che assume sempre gli stessi valori a determinati intervalli della variabile indipendente. Nel nostro caso, all'aumentare dell'ampiezza dell'angolo α la funzione seno assume periodicamente gli stessi valori.
Abbiamo già detto più volte che un punto P può percorrere la circonferenza goniometrica tutte le volte che vuole. Quando percorrerà il secondo giro (cioè una volta superato il valore di 2π) il seno assumerà gli stessi valori assunti nel primo giro. Così come quando percorrerà per la terza volta la circonferenza goniometrica (cioè una volta superato il valore di 4π).
E' chiaro, quindi, che il PERIODO della funzione seno, cioè l'intervallo dopo il quale la funzione si ripete in modo identico, è 2π.
Il tutto si scrive nel modo seguente:
sen α = sen (α + 2π) = sen (α +2·2π) = sen (α +3·2π) = ......
che possiamo sintetizzare scrivendo:
sen (α + 2kπ) = sen α
con k appartenente all'insieme Z, cioè all'insieme dei numeri interi relativi.
