VARIAZIONI DELLA FUNZIONE TANGENTE
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto cos'è la TANGENTE dell'angolo α.
In questa lezione vedremo come varia la tangente al variare dell'ampiezza dell'angolo α.
Disegniamo sulla circonferenza goniometrica un punto P e immagniamo che esso la percorra tutta partendo dal punto A in verso antiorario:
Ricordiamo che la TANGENTE di un angolo:
- è l'ORDINATA del punto in cui la RETTA TANGENTE alla circonferenza goniometrica, nel suo punto di ascissa 1, incontra la retta OP, dove P è il punto associato all'angolo α;
- ma è anche il RAPPORTO tra il SENO e il coseno COSENO dell'angolo stesso.
Quando il punto P si trova in A la tangente, ovvero l'ordinata del punto T, è pari a 0.
Allo stesso risultato si perviene se si considera la tangente come il rapporto tra seno e coseno dell'angolo di zero gradi, infatti il seno dell'angolo di zero gradi è pari a 0, mentre il coseno è pari a 1, di conseguenza la tangente è pari a 0/1 = 0.
Quando il punto P percorre il tratto della circonferenza goniometrica compreso nel I QUADRANTE l'ordinata del punto T sarà sempre POSITIVA.
Anche se ragioniamo in termini di rapporto tra seno e coseno otteniamo lo stesso risultato, infatti nel primo quadrante sia il seno che il coseno sono positivi e, dunque, il loro rapporto è anch'esso positivo.
Quando l'angolo α misura 90° la tangente ovviamente NON E' DEFINITA dato che la retta OP e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A non si incontrano.
Anche se ragioniamo in termini di rapporto tra seno e coseno otteniamo lo stesso risultato, infatti quando l'angolo α misura 90°, il seno vale 1 e il coseno 0, dunque il loro rapporto è impossibile.
Quando il punto P percorre il tratto della circonferenza goniometrica compreso nel II QUADRANTE l'ordinata del punto T sarà sempre NEGATIVA.
Anche se ragioniamo in termini di rapporto tra seno e coseno otteniamo lo stesso risultato, infatti nel secondo quadrante il seno è positivo, mentro il coseno è negativo e, dunque, il loro rapporto è negativo.
Quando l'angolo α misura 180° la tangente, ovvero l'ordinata del punto T, è pari a 0.
Allo stesso risultato si perviene se si considera la tangente come il rapporto tra seno e coseno dell'angolo di 180° gradi, infatti il seno dell'angolo di 180° gradi è pari a 0, mentre il coseno è pari a -1, di conseguenza la tangente è pari a 0/-1 = 0.
Quando il punto P percorre il tratto della circonferenza goniometrica compreso nel III QUADRANTE l'ordinata del punto T sarà sempre POSITIVA.
Allo stesso modo se consideriamo il rapporto tra seno e coseno avremo un valore positivo, infatti nel terzo quadrante sia il seno che il coseno sono negativi, dunque, il loro rapporto è positivo.
Quando l'angolo α misura 270° la tangente, NON E' DEFINITA dato che la retta OP e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A non si incontrano.
Allo stesso risultato giungiamo se consideriamo il rapporto tra seno e coseno dell'angolo di 270°: infatti, quando l'angolo α misura 270°, il seno vale -1 e il coseno 0, dunque il loro rapporto è impossibile.
Quando il punto P percorre il tratto della circonferenza goniometrica compreso nel IV QUADRANTE l'ordinata del punto T sarà sempre NEGATIVA.
Se andiamo a guardare il segno del seno e coseno vedremo che, nel IV quadrante, il seno è sempre negativo, mentre il coseno è sempre positivo, quindi il loro rapporto è negativo.
Chiaramente quando l'angolo α misura 360° avremo una situazione del tutto analoga a quella che si ha con l'angolo di 0°.
Mentre la funzione seno e la funzione coseno sono limitate, in quanto assumono sempre valori compresi tra -1 e +1, la FUNZIONE TANGENTE NON è LIMITATA poiché può assumere qualunque valore reale.
Quindi il CODOMINIO della funzione tangente è dato dall'insieme R (che si legge "l'insieme dei numeri reali").
