RELAZIONE TRA INSIEMI
- Nozione di insieme
- Insiemi: alcuni simboli
- Proposizione matematica
- Insieme vuoto
- Sottoinsiemi di un insieme
- Coppie ordinate
- Prodotto cartesiano di insiemi
- Relazione di un insieme A in un insieme B
Nella lezione precedente abbiamo introdotto il concetto di RELAZIONE tra un insieme A e un insieme B.
Ora cerchiamo di comprendere meglio tale nozione.
Dati due insiemi NON VUOTI A e B ed una PROPOSIZIONE che riferita ad essi abbia un significato inequivocabile,
se per OGNI COPPIA ORDINATA (a, b) con a appartenente ad A e b appartenente a B, sussiste uno ed uno solo dei seguenti fatti:
- a è ASSOCIATO a b mediante quella proposizione;
- a NON è ASSOCIATO a b mediante quella proposizione;
allora possiamo dire che vi è una RELAZIONE di A in B o anche RELAZIONE tra A e B.
In simboli diremo:
Tale relazione prende anche il nome di CORRISPONDENZA di A in B.
L'insieme A si chiama DOMINIO della relazione.
L'insieme B si chiama CODOMINIO della relazione.
Se
e
e sono associati nella relazione 
possiamo scrivere:
che si legge
a associato b mediante
oppure
associa a a b
o ancora
fa corrispondere a a b
oppure
trasforma a in b.
In alcuni libri di testo possiamo trovare anche
che si legge
a è nella relazione R con b
ed ha lo stesso significato di
Quando troviamo scritto:
possiamo dire che
la coppia (a, b) verifica la relazione
oppure che
la coppia (a, b) soddisfa la relazione.
In caso contrario scriveremo:
che si legge
la coppia (a, b) non verifica la relazione.
Se (a, b) verifica la relazione, cioè se:
b
è detta immagine
di a mediante
mentre
a è detta controimmagine.
L'INSIEME delle IMMAGINI si chiama IMMAGINE DELLA RELAZIONE.
L'INSIEME delle CONTROIMMAGINI si chiama CONTROIMMAGINE DELLA RELAZIONE.
Torniamo all'esempio visto nella lezione precedente.
Dati i due insiemi
A = {4, 7, 9}
B = {1, 2, 3}
consideriamo la relazione "è il quadrato di".
Abbiamo detto:
A = dominio della relazione
B = controdominio della relazione.
Le coppie che soddisfano la relazione sono:
(4, 2), (9, 3).
L'INSIEME DELLE IMMAGINI è dato da:
{2, 3}.
L'INSIEME DELLE CONTROIMMAGINI è dato da:
{4, 9}.
Ora osserviamo le coppie che verificano la relazione "è il quadrato di":
(4, 2), (9,3).
La nostra relazione può essere espressa come l'insieme delle coppie che soddisfano tale relazione, cioè come:
{(4, 2), (9,3)}.
Osserviamo ora l'INSIEME PRODOTTO CARTESIANO di A e B:
A x B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (9, 1), (9, 2), (9, 3)}.
Notiamo che le coppie che verificano la relazione "è il quadrato di" costituiscono un SOTTOINSIEME del PRODOTTO CARTESIANO di A e B.
