SECANTE
Dopo aver introdotto, nelle lezioni precedenti, i concetti di seno, coseno e tangente, in questa lezione andremo a parlare della SECANTE.
Disegniamo la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato α:
Ora disegniamo la retta TANGENTE alla circonferenza goniometrica nel punto P:
ed indichiamo:
- con S il punto in cui tale retta interseca l'asse delle ascisse;
- e con C il punto in cui tale retta interseca l'asse delle ordinate.
Chiamiamo SECANTE dell'angolo α l'ASCISSA del punto S in cui, la retta secante la circonferenza goniometrica nel punto P, interseca l'asse delle x.
Indichiamo la secante con il simbolo
sec α
che si legge
secante di alfa
Esiste, però, anche un altro modo di definire la secante.
Per farlo osserviamo i triangoli OPH e OPS:
Essi hanno in comune:
- l'angolo α;
- inoltre, entrambi i triangoli hanno un angolo retto:
- quello con vertice nel punto H, nel caso del triangolo OPH. Essendo la retta PH perpendicolare all'asse delle ascisse, forma con essa 4 angoli retti;
- quello con vertice nel punto P, nel caso del triangolo OPS. Infatti, una retta tangente alla circonferenza forma, con il raggio della circonferenza, quattro angoli retti, essendo la tangente perpendicolare al raggio.
Ma noi sappiamo che due triangoli che hanno due angoli ordinatamente congruenti sono SIMILI tra loro.
Di conseguenza, questi due triangoli hanno i LATI CORRISPONDENTI PROPORZIONALI.Quindi saranno tra loro proporzionali:
- il lato OP del triangolo OPH con
il lato OS del triangolo OPS
- e il lato OH del triangolo OPH con
il lato OP del triangolo OPS
Pertanto possiamo scrivere la seguente proporzione:
OP : OH = OS : OP
Dove:
- i termini a sinistra del simbolo = indicano rispettivamente l'IPOTENUSA e il CATETO compreso tra l'angolo α e l'angolo retto del triangolo OPH;
- mentre i termini a destra del simbolo = indicano rispettivamente l'IPOTENUSA e il CATETO compreso tra l'angolo α e l'angolo retto del triangolo OPS.
Ma noi sappiamo che OH non è altro che il COSENO dell'angolo α e sappiamo anche che OP è il RAGGIO della circonferenza goniometrica che è uguale a 1. Quindi la nostra proporzione può essere scritta nel modo seguente:
OP : OH = OS : OP
1 : cos α = OS : 1
Ma OS è la SECANTE dell'angolo α. Quindi possiamo scrivere:
1 : cos α = sec α : 1
da cui otteniamo:
1 · 1 = cos α · sec α
Eseguendo la moltiplicazione a primo membro abbiamo:
1 = cos α · sec α
da cui otteniamo
Quindi possiamo affermare che la SECANTE è anche la FUNZIONE RECIPROCA del COSENO.
