COORDINATE DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
- Assi cartesiani ortogonali
- Rappresentazione di un punto su un pianto cartesiano
- Rappresentazione di un punto su un pianto cartesiano: alcuni esempi
- Rappresentazione di un punto su un pianto cartesiano: casi particolari
- Coordinate del punto medio di un segmento
- Il punto
- Il segmento
- Minimo comune denominatore
Nella lezione precedente abbiamo visto come determinare le coordinate del punto medio di un segmento quando gli estremi di tale segmento hanno lo stessa ordinata.
Ora andremo a vedere come determinare le COORDINATE DEL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO quando gli estremi di tale segmento hanno la STESSA ASCISSA.
Supponiamo di avere due punti A e B tali che:
A (x1 ; y1)
e
B (x1 ; y2).
In altre parole, i due punti, hanno la STESSA ASCISSA.
Disegniamo i due punti sugli assi cartesiani:
Ora, vogliamo determinare il PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO AB:
Poiché i punti A e B hanno la STESSA ASCISSA, anche il punto M avrà la STESSA ASCISSA. Si tratterà, allora, di trovare solamente l'ordinata del punto M che, nel grafico precedente abbiamo indicato con yM.
Osserviamo che per trovare l'ordinata yM dobbiamo trovare la misura del segmento OM'che sugli assi cartesiani riportati sotto abbiamo evidenziato in verde. Inoltre, sull'asse delle ascisse abbiamo indicato con A', M' e B' le proiezioni dei punti A, M e B sull'asse delle y:
Ora notiamo che il segmento OM' è dato dal segmento OA' più il segmento A'M'.
Ovvero:
OM' = OA' + A'M'.
Ma sappiamo che A'M' è uguale alla metà del segmento A'B', dato che M' è il punto medio del segmento AB. Quindi possiamo scrivere:
OM' = OA' + A'B'/2.
Essendo:
- OA' = y1
- A'B' = y2 - y1 con y2 > y1
possiamo scrivere:
da cui, trovando il minimo comune denominatore, che è 2, otteniamo
ed eseguendo, a numeratore, la differenza tra 2y1 ed y1, otteniamo:
Quindi, nel caso di DUE PUNTI aventi la stessa ascissa,il PUNTO MEDIO ha:
- come ascissa, l'ASCISSA dei due punti;
- come ordinata la SOMMA delle ORDINATE dei due punti, DIVISO 2.
Esempio:
dati i punti A (3; 2) e B (3; -5) calcolare il punto medio.
Disegniamo i due punti:
I due punti hanno la stessa ordinata. Ora andiamo a calcolare il punto medio:
OM' = (y1 + y2) /2 = (2 + -5)/ 2 = -3/2.
Il punto medio M ha come coordinate
M (-3/2; 3).
