DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO PARAMETRICHE
- Disequazioni di secondo grado
- Disequazioni razionali intere di secondo grado
- Come si risolvono le disequazioni intere di secondo grado
- Risoluzione di disequazioni intere di secondo grado
- Disequazioni intere letterali
- Disequazioni di secondo grado parametriche
- Disequazioni di secondo grado parametriche
- Esercizi con disequazioni parametriche di secondo grado
Continuiamo a parlare di DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO PARAMETRICHE e vediamo come si risolvono le disequazioni nelle quali il PARAMETRO compare nel PRIMO COEFFICIENTE: in questa casistica si comprendono sia i casi nei quali il parametro è presente solo nel primo coefficiente, che i casi nei quali il parametro è presente nel primo coefficiente, ma anche nel secondo o nel termine noto o in entrambi.
Alcuni esempi di questo tipo di disequazioni sono:
(a + 2)x2 + x + 2 > 0
kx2 +k x + 2 > 0
(k - 1)x2 + x + k2 > 0
mx2 + (m+2) x + m > 0.
Rispetto agli esempi visti nella lezione precedente in questo caso occorre tenere conto anche di due fattori:
- la presenza
delPARAMETRO
nel primo coefficiente fa sì che, se tale coefficiente è NULLO
la disequazione diventa una disequazione di primo
grado. Tale
disequazione sarà:
- una normale disequazione di primo grado, se il parametro è presente solamente nel primo coefficiente;
- una disequazione di primo grado parametrica, se il parametro non è presente solamente nel primo coefficiente;
- la presenza del parametro nel primo coefficiente fa sì che non conosciamo a priori il SEGNO DEL TRINOMIO. Esso dipende dai valori assunti dal parametro stesso.
Per il resto nulla cambia rispetto a quanto detto nella lezione precedente.
Ora cerchiamo di capire meglio tutto quanto con un esempio:
kx2 + 2x + 1 > 0.
Cominciamo col dire che, se
k = 0
la disequazione diventa una normale disequazione di primo grado. Infatti:
0·x2 + 2x + 1 > 0
ovvero
2x + 1 > 0
2x > -1
x > -1/2.
Se, invece
k ≠ 0
la disequazione avrà come soluzioni
Vediamo i valori assunti dal discriminante.
Partiamo dal primo caso
Δ > 0.
Questa situazione si verifica quando
4 - 4k > 0
-4k > - 4
4k < 4
k < 1.
Quindi quando k < 1 la disequazione ammette due soluzioni distinte. Ma essa è verificata per i valori interni o quelli esterni alle due soluzioni?
Dipende dal segno di k.
Se
k < 0
(e quindi senz'altro minore di 1 e tale da rendere il discriminante positivo), essendo il primo termine della disequazione negativo e il segno della disequazione positivo (>) la soluzione è data dai valori interni, ovvero
Se
0 < k < 1
(e quindi maggiore di zero, ma non maggiore di 1 altrimenti il discriminante non sarebbe più positivo), essendo il primo termine della disequazione positivo e il segno della disequazione positivo (>) la soluzione è data dai valori esterni, ovvero
Vediamo ora quando
Δ = 0.
Questa situazione si verifica quando
4 - 4k = 0
ovvero quando
- 4k = -4
4k = 4
k =4/4
k = 1.
In questo caso, essendo il coefficiente del primo termine positivo ( 1 ) ed il segno della disequazione positivo ( > ), la disequazione è vera per qualsiasi x.
Concludiamo il nostro esame vedendo cosa accade quando
Δ < 0.
Questa situazione si verifica quando
4 - 4k < 0
ovvero quando
- 4k < -4
4k > 4
k > 4/4
k > 1.
In questo caso, essendo il coefficiente del primo termine positivo ( > 1 ) ed il segno della disequazione positivo ( > ), la disequazione è vera per qualsiasi x.
Nella prossima lezione vedremo un altro tipo di esercizi con disequazioni parametriche di secondo grado.
