EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA: ALCUNE CONSIDERAZIONI
- Equazione della circonferenza
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Radice quadrata
- Elevamento a potenza
- Potenze di numeri relativi
Nella lezione precedente abbiamo visto che l'EQUAZIONE della CIRCONFERENZA è
x2 + y2 + ax + by + c = 0.
Ora, facciamo alcune considerazioni su tale equazione.
La nostra è un'EQUAZIONE di SECONDO GRADO in x e y. Ricordiamo che il grado di un'equazione è dato dal GRADO MASSIMO delle sue incognite.
Notiamo poi che sia la x2 che la y2 hanno LO STESSO COEFFICIENTE.
Infine osserviamo che nell'equazione non c'è il termine misto xy.
Fatte queste considerazioni ci poniamo una domanda: "Ogni equazione di secondo grado che presenta queste caratteristiche rappresenta una circonferenza?".
In altre parole: "Ogni volta che ci troviamo di fronte ad un'equazione del tipo
x2 + y2 + ax + by + c = 0
possiamo dire che siamo di fronte all'equazione di una circonferenza?"
Per rispondere a questa domanda, ricordiamo che (come abbiamo visto nella lezione precedente), siamo giunti all'equazione della circonferenza in forma canonica ponendo
α2 + β2 - r2 = c.
Ora, ricaviamo da questa equazione il valore di r2. Iniziamo col portare α2e β2al secondo membro cambiando loro il segno. Avremo:
- r2 = - α2 - β2 + c.
Ora cambiamo di segno a tutti i termini dell'equazione:
r2 = α2 + β2 - c.
Per trovare il valore di r dobbiamo estrarre la radice quadrata del primo e del secondo membro:
Da cui si ottiene
Affinché si possa estrarre la radice quadrata di un numero è necessario che esso sia positivo. Infatti, la radice quadrata è l'operazione inversa rispetto all'elevazione al quadrato. E noi sappiamo che, se eleviamo un numero reale, sia esso positivo che negativo, al quadrato otteniamo sempre un numero positivo.
Quindi affinché l'equazione rappresenti l'equazione di una circonferenza è necessario che
α2 + β2 - c > 0.
Vediamo un esempio.
Data l'equazione
x2 + y2 -4x + 6y -12 = 0
stabilire se essa è l'equazione di una circonferenza.
Per prima cosa osserviamo che la nostra è un'equazione di secondo grado in x e y.
Poi constatiamo che sia la x2 che la y2 hanno lo stesso coefficiente.
Ora dobbiamo verificare che
α2 + β2 - c > 0.
Nella lezione precedente abbiamo posto, per giungere all'equazione della circonferenza in forma canonica,
-2α = a
-2β = b.
Ora noi conosciamo il valore di a e quello di b.
Infatti
a = - 4
b = 6.
Per cui avremo:
-2α = - 4
-2β = 6.
Quindi cambiando di segno ad entrambi i membri, avremo:
2α = 4
e dividendo per 2 entrambi i membri:
α = 2.
Allo stesso modo
-2β = b
cambiando di segno ad entrambi i membri, avremo:
2β = - 6
e dividendo per 2 entrambi i membri:
β = - 3.
Infine noi sappiamo che
c = -12.
Verifichiamo allora che
α2 + β2 - c > 0.
Sostituiamo i valori trovati e avremo:
(2)2 + (-3)2 + 12 > 0
4 + 9 + 12 > 0
25 > 0.
La condizione posta è vera, quindi
x2 + y2 -4x + 6y -12 = 0
è l'equazione di una circonferenza.
