EQUAZIONI INTERE LETTERALI
- Identità ed equazioni
- Radici di una equazione
- Equazioni equivalenti
- Come si risolve una equazione di primo grado in una incognita
- Primo principio di equivalenza delle equazioni
- Secondo principio di equivalenza delle equazioni
- Equazioni determinate, indeterminate, impossibili
Finora ci siamo occupati della soluzione delle EQUAZIONI INTERE NUMERICHE, cioè di quelle equazioni che, oltre alle incognite, contengono SOLAMENTE NUMERI.
Come però abbiamo detto in una precedente lezione una equazione, oltre alle incognite, può contenere delle ALTRE LETTERE: esse vengono considerate come dei NUMERI FISSI e prendono il nome di COSTATI. Queste equazioni sono dette EQUAZIONI LETTERALI o anche EQUAZIONI PARAMETRICHE.
Un esempio di equazione intera letterale potrebbe essere:
ax + b = c.
La nostra INCOGNITA è la x;
mentre le lettere a, b, c sono considerate delle COSTANTI, cioè dei TERMINI NOTI.
Vediamo, allora, come si risolvono le equazioni letterali.
Le regole per risolvere questo tipo di equazioni sono le stesse che abbiamo visto parlando delle equazioni numeriche.
Tuttavia bisogna tener presente che trasformando una equazione in un'altra equivalente occorre fare attenzione ad alcune condizioni da porre affinché l'equazione sia valida.
Cerchiamo di comprendere meglio questo concetto tornando al nostro esempio:
ax + b = c.
Applicando il primo principio di equivalenza trasportiamo la b a secondo membro cambiandogli di segno. Avremo:
ax = c - b.
Applicando il secondo principio di equivalenza dividiamo entrambi i membri per a. Avremo:
x = (c - b)/ a.
Affinché la nostra equazione sia DETERMINATA è necessario che a sia diverso da zero.
Quindi:
se
a ≠ 0
l'equazione è determinata è la radice è
(c - b)/ a.
Vediamo, però, cosa succede se
a = 0.
La nostra equazione diventerebbe:
x = (c - b)/ 0.
Ora:
- se
c = b
l'equazione assumerebbe la forma
x = 0/ 0
e quindi sarebbe INDETERMINATA;
- se
c ≠ b
l'equazione sarebbe IMPOSSIBILE perché staremmo cercando un valore x che moltiplicato per zero dà un numero diverso da zero.
Ricapitolando la soluzione della nostra equazione è la seguente:
| EQUAZIONE: ax = c - b | |
|---|---|
| Se a ≠ 0 | Equazione DETERMINATA - Radice: c-b/a |
| Se a = 0
e c = b |
Equazione INDETERMINATA |
| Se a = 0
e c ≠ b |
Equazione IMPOSSIBILE |
Ovviamente la discussione dei risultati ottenuti può variare da un'equazione all'altra.
Per chiarire i concetti esposti vediamo un altro esempio:
ax - b = 2x + 1.
Applicando il primo principio di equivalenza trasportiamo -b a secondo membro cambiandogli di segno e 2x a primo membro cambiandogli di segno. Avremo:
ax - 2x = 1 + b.
Ora, a primo membro, mettiamo in evidenza la x. Avremo:
x (a - 2) = 1 + b.
Applicando il secondo principio di equivalenza dividiamo entrambi i membri per a - 2. Avremo:
x = (1 + b)/(a - 2).
Affinché la nostra equazione sia DETERMINATA è necessario che a sia diverso da due.
Quindi:
se
a ≠ 2
l'equazione è determinata è la radice è
(1 + b)/ (a - 2).
Vediamo, però, cosa succede se
a = 2.
La nostra equazione diventerebbe:
x = (1 + b)/ 0.
Ora:
- se
b = -1
l'equazione assumerebbe la forma
x = 0/ 0
e quindi sarebbeINDETERMINATA;
-
se
b ≠ -1
l'equazione sarebbe IMPOSSIBILE perché staremmo cercando un valore x che moltiplicato per zero dà un numero diverso da zero.
Ricapitolando la soluzione della nostra equazione è la seguente:
| EQUAZIONE: ax - b = 2x + 1 | |
|---|---|
| Se a ≠ 0 | Equazione DETERMINATA - Radice: (1+b)/ (a-2) |
| Se a = 0
e b = -1 |
Equazione INDETERMINATA |
| Se a = 0
e b ≠ -1 |
Equazione IMPOSSIBILE |
