SEGNO DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Segno del trinomio di secondo grado
- Discriminante di un'equazione di secondo grado
- Fattorizzazione di un trinomio di secondo grado
- Moltiplicazione di numeri relativi
In una precedente lezione abbiamo parlato del SEGNO DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO e abbiamo detto che:
- se il DISCRIMINANTE è POSITIVO il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore di una delle due radici. Negli altri casi vale la regola del DICE (Discordi - Interni - Concordi - Esterni) cioè il trinomio ha segno contrario a quello del suo primo coefficiente quando la variabile assume valori interni all'intervallo delle radici, mentre ha lo stesso segno del suo primo coefficiente quando la variabile assume valori esterni rispetto alle radici;
- se il DISCRIMINANTE è UGUALE A ZERO il trinomio si annulla quando la variabile assume il valore dell'unica radice. Negli altri casi il trinomio ha segno uguale a quello del suo primo coefficiente;
- se il DISCRIMINANTE è NEGATIVO il trinomio ha lo stesso segno del suo primo coefficiente per qualunque valore della x.
Ora cerchiamo di capire il perché di queste regole.
Partiamo dal primo caso. Il DISCRIMINANTE è POSITIVO.
Iniziamo col ricordare quanto abbiamo detto parlando della fattorizzazione di un trinomio di secondo grado, ovvero che il trinomio di secondo grado
ax2 + bx + c
nel caso in cui
Δ > 0
può essere scritto come
ax2 +bx +c = a (x - x1) (x - x2).
Come abbiamo avuto modo di dire, tale relazione nasce proprio dal fatto che il trinomio si annulla attribuendo alla variabile x il valore di x1 o il valore di x2.
Studiamo ora il segno del trinomio.
Partiamo dal presupposto che
x1 < x2.
Vediamo cosa accade quando la x assume VALORI ESTERNI all'interavallo delle radici x1 e x2, ovvero quando
x < x1ox > x2.
Iniziamo col vedere cosa accade se alla x attribuiamo valori minori di x1.
Se x < x1, il fattore
(x - x1)
assume valori negativi.
E poiché x2 è maggiore di x1, e noi diamo alla x un valore minore di di x1 (e dunque anche minore di x2) anche il secondo fattore
(x - x2)
sarà negativo.
E' evidente, allora che il valore assunto dal polinomio dipende dal segno di a. Infatti:
Vediamo ora cosa accade se alla x attribuiamo valori maggiori di x2.
Se x > x2, il fattore
(x - x2)
assume valori positivi.
E poiché x1 è minore di x2, e noi diamo alla x un valore maggiore di di x2 (e dunque anche maggiore di x1) anche l'altro fattore
(x - x1)
sarà positivo.
E' evidente, allora che il valore assunto dal polinomio anche in questo caso dipende dal segno di a. Infatti:
Abbiamo dimostrato che, se la x assume VALORI ESTERNI all'intervallo delle radici, il trinomio assume lo STESSO SEGNO DEL PRIMO COEFFICIENTE.
Ora vediamo cosa accade quando la x assume VALORI INTERNI all'interavallo delle radici x1 e x2, ovvero quando
x1< x < x2.
Se x > x1,il fattore
(x - x1)
assume valori positivo.
E poiché il valore di x è al tempo stesso minore di x2 il secondo fattore
(x - x2)
sarà negativo.
Quindi avremo:
Abbiamo quindi dimostrato che, se la x assume VALORI INTERNI all'intervallo delle radici, il trinomio assume SEGNO CONTRARIO A QUELLO DEL PRIMO COEFFICIENTE.
Passiamo ora ad esaminare il caso in cui DISCRIMINANTE è NULLO.
Ricordiamo che, il trinomio di secondo grado
ax2 + bx + c
nel caso in cui
Δ = 0
può essere scritto come
ax2 +bx +c = a (x - x1)2.
Come sappiamo il trinomio si annulla attribuendo alla variabile x il valore di x1.
Studiamo ora il segno del trinomio.
Notiamo che
(x - x1)2
essendo un quadrato, assumerà sempre valori positivi qualsiasi valore assegniamo alla x purché diversi da x1.
Quindi, il segno del trinomio, dipende esclusivamente dal SEGNO DEL PRIMO COEFFICIENTE. Infatti:
Passiamo ora ad esaminare il caso in cui DISCRIMINANTE è NEGATIVO.
Il trinomio di secondo grado
ax2 + bx + c
nel caso in cui
Δ < 0
non può essere fattorizzato, ma può essere scritto come
Come abbiamo visto in un precedente approfondimento quello che abbiamo scritto è il prodotto tra il coefficiente del primo termine e una espressione SEMPRE POSITIVA.
E' evidente allora che, a prescindere dal valore assegnato ad x, sarà:
Quindi, il trinomio ha sempre lo STESSO SEGNO DEL PRIMO COEFFICIENTE per qualunque valore della x.
