TRINOMIO DI SECONDO GRADO CON DISCRIMINANTE NEGATIVO
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Equazioni di secondo grado complete
- Discriminante di un'equazione di secondo grado
- Fattorizzazione di un trinomio di secondo grado
- Raccoglimento a fattor comune
- Quadrato di un binomio
- Minimo comune denominatore
- Segno delle frazioni
Nella lezione dedicata alla FATTORIZZAZIONE DI UN TRINOMIO di SECONDO GRADO abbiamo visto che, se il DISCRIMINANTE è MINORE di ZERO il trinomio non si può fattorizzare.
Quindi se:
Δ = b2 - 4ac < 0
il trinomio
ax2 + bx + c = 0
NON può essere FATTORIZZATO cioè scritto come prodotto:
- del COEFFICIENTE del TERMINE DI SECONDO GRADO del trinomio (a);
- per la differenza tra la VARIABILE x e la PRIMA RADICE (x-x1);
- per la differenza tra la VARIABILE x e la SECONDA RADICE (x-x1).
Ciò nonostante il trinomio può essere scritto sotto forma del PRODOTTO tra il COEFFICIENTE del TERMINE DI SECONDO GRADO e una ESPRESSIONE sempre positiva.
In pratica il nostro trinomio può essere scritto nel modo seguente:
Vediamo come si giunge a questa formula.
Partiamo dal trinomio di secondo grado:
METTIAMO in EVIDENZA la a:
Ora sommiamo e sottraiamo, all'interno della parentesi b2/4a2:
Cambiamo l'ordine con il quale sono disposti gli addendi:
Possiamo notare che i primi tre termini scritti in parentesi tonda sono il quadrato di un binomio ed esattamente di
Infatti:
Sostituiamo questo quadrato nel polinomio precedente. Avremo:
Ora sommiamo, nella parentesi quadra, c/a e -b2/4a2.
Il minimo comune multiplo tra i due è 4a2. Quindi avremo:
Siamo così giunti al prodotto che avevamo indicato inizialmente. Ovvero
Abbiamo detto all'inizio che il trinomio, avente DELTA NEGATIVO, può essere scritto sotto forma del prodotto tra il coefficiente del termine di secondo grado e una espressione SEMPRE POSITIVA.
Ovvero:
Cerchiamo ora di capire perché possiamo affermare che l'espressione tra parentesi quadra è sempre positiva.
Essa è la SOMMA di:
- un QUADRATO
che è sempre un valore positivo;
- e
dell'espressione
Il denominatore di questa frazione è un quadrato, quindi è positivo.
Il numeratore è il DELTA preso con segno meno. Infatti:
Δ = b2 - 4ac
-Δ = - b2 + 4ac = 4ac - b2.
Ora noi stiamo esaminando il caso di un TRINOMIO con DISCRIMINANTE NEGATIVO, quindi sappiamo che:
Δ < 0.
Di conseguenza
- Δ > 0.
Quindi anche ilnumeratore sarà sempre positivo.
Di conseguenza la frazione avrà sempre segno positivo.
