EQUAZIONI BIQUADRATICHE
- Equazioni di primo grado ad una incognita
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
- Proprietà delle potenze
Consideriamo la seguente equazione:
ax2n + bxn + c = 0.
Se
n = 1
l'equazione diventa
ax2 + bx + c = 0.
Essa è una normale EQUAZIONE DI SECONDO GRADO COMPLETA che risolviamo applicando la formula risolutiva.
Vediamo, però, cosa accade se
n > 1.
La nostra equazione
ax2n + bxn + c = 0
può essere scritta anche nel modo seguente:
a(xn )2+ bxn + c = 0.
Infatti sappiamo che la potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
Ora poniamo
xn = t.
L'equazione
a(xn )2+ bxn + c = 0
diventa
at2+ bt + c = 0.
Questa è un'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO COMPLETA che risolviamo nei modi consueti.
La nostra equazione potrà:
- ammettere DUE
SOLUZIONI distinte. In questo caso
troveremo due valori di t:
t1
e t2.
Una volta trovati i valori di t determiniamo il valore di x ricordando che
xn = t1 e xn = t2.
Esempio:
Una volta trovati i valori di t cerchiamo quelli di x:
- ammette UNA
SOLA SOLUZIONE. In questo caso
troveremo un solo valore di t.
Per determinare il valore di x basta ricordare che
xn = t;
Esempio:
Una volta trovato il valore di t cerchiamo i valori di x:
- non ammette NESSUNA
SOLA SOLUZIONE. In questo caso non
troveremo alcun valore di t e
di conseguenza non troveremo nessun valore di x.
Esempio:
La nostra equazione non ammette soluzioni.
E' possibile anche che l'equazione
at2 + bt + c = 0
ammetta soluzioni, mentre l'equazione
ax2n + bxn + c = 0
non ammetta soluzioni.
Esempio:
Una volta trovato il valore di t cerchiamo i valori di x:
E' evidente che l'equazione non ammette soluzioni non potendosi, in nessuno dei due casi, estrarre la radice quadrata di un numero negativo.
