EQUAZIONI RAZIONALI INTERE RISOLTE MEDIANTE FATTORIZZAZIONE
- Equazioni di primo grado ad una incognita
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
- Regola di Ruffini
- Grado di un polinomio
- Moltiplicazione
Supponiamo di avere un'equazione del tipo
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + .... + a1x + a0= 0.
con
n > 2.
Una equazione di questo tipo può essere risolta se sappiamo eseguire la FATTORIZZAZIONE del primo membro.
Esempio:
x4 - 5x3 - 15x2 + 5x + 14 = 0.
Applicando la REGOLA DI RUFFINI possiamo scrivere il primo membro come il prodotto di tre fattori, ovvero:
x4 - 5x3 - 15x2 + 5x + 14 = (x+1) (x-1) (x2 -5x -14).
In questo modo abbiamo scritto il polinomio come prodotto di tre fattori di cui, due sono polinomi di primo grado, e uno e un polinomio di secondo grado.
La nostra equazione quindi diventa:
(x+1) (x-1) (x2 -5x -14) = 0.
Per la LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO se un prodotto è zero, uno almeno dei suoi fattori è zero.
Quindi per risolvere questa equazione è sufficiente vedere per quali valori di x i tre fattori si annullano.
In pratica si tratta di risolvere tre equazioni:
x+1 = 0
x-1 = 0
x2 -5x -14 = 0.
Chiaramente siamo in grado di risolvere tutte e tre queste equazioni dato che, le prime due, sono delle equazioni lineari, mentre l'ultima è un'equazione di secondo grado completa.
Allora avremo:
PRIMA EQUAZIONE
x+1 = 0
x = -1.
SECONDA EQUAZIONE
x-1 = 0
x = +1.
TERZA EQUAZIONE
x2 -5x -14 = 0
Quindi la nostra equazione ha le seguenti soluzioni:
x = -1
x = 1
x = -2
x = 7.
