MONOTONIA GENERALE E MONOTONIA LOCALE
- Funzioni reali di variabile reale
- Funzioni monotone
- Campo di esistenza delle funzioni
- Intervalli
- Sottoinsiemi di un insieme
- Sottoinsiemi propri e impropri
- Implicazione logica
Nella lezione precedente abbiamo visto quando una FUNZIONE si dice MONOTÒNA.
Ora vogliamo portare una precisazione.
Esistono due tipi di MONOTONIA:
- quella che abbiamo visto nella lezione precedente, che si dice MONOTONIA GENERALE;
- un'altra MONOTONIA detta LOCALE.
Diciamo che una funzione è GLOBALMENTE MONOTONA se essa è tale su TUTTO il suo CAMPO DI ESISTENZA.
Invece, diciamo che una funzione è LOCALMENTE MONOTONA se essa è tale solamente su un INTERVALLO del suo CAMPO DI ESISTENZA.
Fissiamo, ora, la nostra attenzione su questo secondo concetto.
Immaginiamo di avere la funzione
y = f(x)
e chiamiamo con
CE(f)
che si legge
campo di esistenza di f
il suo campo di esistenza.
Ora supponiamo di avere un INTERVALLO I tale che I sia un SOTTOINSIEME del CE(f). Scriveremo:
che si legge
I è incluso impropriamente nel campo di esistenza di f
Diremo, ad esempio, che una FUNZIONE è LOCALMENTE CRESCENTE se
che si legge
qualunque x con 1 e x con 2 appartenenti ad I tali che x con 1 è minore di x con due implica che f con x con 1 è minore di f con x con 2.
E' evidente che se l'insieme I coincide con il campo di esistenza della funzione la monotonia sarà globale, in caso contrario sarà locale.
Ovviamente in modo analogo potremmo parlare di funzioni decrescenti, non crescenti e non decrescenti.
Esempio:
La funzione che abbiamo disegnato è crescente solamente nell'intervallo del campo di esistenza evidenziato in rosso. Quindi si tratta di una funzione localmente crescente.
