RICERCA DI TUTTI I DIVISORI DI UN NUMERO
- I numeri primi
- Scomposizione di un numero in fattori primi
- Criterio generale di divisibilità
- Proprietà dei divisori di un numero
- Divisori di un numero
- Elevamento a potenza
Poniamoci ora il problema di come trovare tutti i divisori di un dato numero, siano essi numeri primi che numeri composti.
Ad esempio, immaginiamo di voler sapere quali sono tutti i divisori del numero 540, ricordando che non vogliamo sapere solamente per quali numeri primi esso è divisibile, ma anche per quali numeri composti.
Per poter risolvere questo problema dobbiamo attingere a quanto abbiamo appreso in merito alla SCOMPOSIZIONE di un numero in FATTORI PRIMI e al CRITERIO GENERALE di DIVISIBILITA'.
Vediamo come procedere.
Iniziamo con lo SCOMPORRE il nostro numero in FATTORI PRIMI.
Quindi:
540 = 22 x 33 x 5.
Ora formiamo una TABELLA nella quale scriviamo, sulla prima LINEA ORIZZONTALE, il numero 1.
Nelle caselle successive della prima linea scriviamo il primo fattore, il 2, dapprima con esponente 1 e poi con esponente via via maggiore, fino all'esponente con cui compare nella scomposizione. Nel nostro caso il 2 compare con esponente 2: quindi indicheremo 2 e 22.
Sulla seconda riga, scriviamo prima il numero 1 e successivamente il secondo fattore, il 3, dapprima con esponente 1 e poi con esponente via via maggiore, fino all'esponente con cui compare nella scomposizione.Nel nostro caso il 3 compare con esponente 3: quindi indicheremo 3, 32 e 33.
Sulla terza riga, scriviamo prima il numero 1 e successivamente il terzo fattore dapprima con esponente 1 e poi con esponente via via maggiore, fino all'esponente con cui compare nella scomposizione.Nel nostro caso il 5 compare con solamente con esponente 1: quindi indicheremo solo 5.
Si andrà avanti così fino ad esaurire tutti i fattori primi.
Ora scriviamo la tabella in modo da SVILUPPARE le POTENZE. Quindi la nostra tabella diventerà:
Adesso dobbiamo moltiplicare tutti i numeri della prima riga per ogni numero della seconda riga. Quindi:
1, 2, 4
e ancora...
1, 2, 4, 3, 6, 12,
e ancora...
1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36
e ancora...
1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108.
Ora moltiplichiamo ciascun numero trovato per la terza linea orizzontale della nostra tabella.
1, 2, 4, 3, 6, 12, 9 , 18, 36, 27, 54, 108
1, 5
Avremo:
1, 2, 4, 3, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 5, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270, 540.
Ora li poniamo in ordine crescente e abbiamo:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540.
Questi sono tutti i divisori del numero 540: come potete notare sono 24.
Quando noi stiamo cercando i divisori di un numero potremmo avere il dubbio di averne tralasciato qualcuno. Come facciamo a sapere se li abbiamo considerati tutti?
Osserviamo la scomposizione in fattori primi:
540 = 22 x 33 x 5.
Notiamo che gli esponenti dei tre fattori primi (2, 3 e 5) sono rispettivamente 2, 3 e 1.
Ora osserviamo che, se aumentiamo ognuno di questi esponenti di 1 unità avremo 3, 4 e 2 e se moltiplichiamo tra loro i valori ottenuti, avremo:
3 x 4 x 2 = 24
che è proprio il numero dei divisori di 540.
Quindi, per sapere qual è il NUMERO DEI DIVISORI di un dato numero dobbiamo SCOMPORLO in FATTORI PRIMI, AUMENTARE di UNA UNITA' ognuno degli ESPONENTI di tali fattori primi e fare il PRODOTTO dei numeri ottenuti.
La ricerca di tutti i divisori di un numero gode di un'importante proprietà.
