FUOCO E DIRETTRICE DELLA PARABOLA
Noi sappiamo che la PARABOLA è il luogo geometrico dei PUNTI del piano EQUIDISTANTI da un PUNTO FISSO detto FUOCO e da una RETTA FISSA della DIRETTRICE.
Ora, se indichiamo con F il fuoco, di coordinate
F (p ; q)
con d la direttrice di equazione
y = d
e con P un generico punto della parabola di coordinate
P (x ; y)
possiamo scrivere che
da cui si ricava l'equazione della parabola
y = ax2 + bx + c.
Per giungere a tale equazione è necessario porre:
Ora, se noi vogliamo sapere quali sono le coordinate del fuoco, possiamo risolvere un sistema con queste tre equazioni. Avremo:
Partiamo dalla seconda equazione. Possiamo scriverla come:
Ma poiché:
Possiamo scrivere:
b = -2pa.
Allo stesso modo
può essere scritta come:
da cui otteniamo
c = (q2 -d2 + p2) a.
Il nostro sistema, quindi, diventa:
Dalla prima equazione troviamo il valore di q. Moltiplichiamo il denominatore:
Moltiplichiamo, primo e secondo membro, per 2q - 2d, e avremo:
(2q - 2d)a = 1
2qa - 2da = 1.
Portiamo a secondo membro -2da cambiandogli di segno:
2qa = 1 + 2da.
Dividiamo entrambi i membri per 2a:
q = 1/2a + d.
Invece, dalla seconda equazione, ricaviamo lap:
b = -2pa
2pa = - b.
Dividiamo entrambi i membri per 2a:
p = - b/2a.
Nella terza equazione, sostituiamo i valori di q e di p:
.
A questo punto il nostro sistema diventa:
Ora, dalla terza equazione, troviamo la d:
Il nostro sistema, quindi, diventa:
Ora poniamo, nell'ultima equazione:
Δ = b2 - 4ac.
Essa diventa:
Sostituendo la d, nella prima equazione, avremo:
Abbiamo, quindi, trovato i valori di q, p, d.
E abbiamo dimostrato che:
e che
che, ovviamente è la stessa cosa che scrivere
y = (-1 - Δ)/4a.
