SISTEMI DI DISEQUAZIONI FRAZIONARIE DI SECONDO GRADO
- Sistemi di disequazioni di secondo grado
- Come si risolve un sistema di disequazioni di secondo grado
- Disequazioni razionali fratte di secondo grado
- Divisione di numeri relativi
Nella lezione precedente abbiamo visto come si risolvono i SISTEMI DI DISEQUAZIONE di SECONDO GRADO e ci siamo soffermati ad analizzare il caso in cui il sistema è formato esclusivamente da disequazioni intere di secondo grado.
In questa lezione vogliamo vedere un caso particolare di sistema di disequazioni di secondo grado, ovvero quello nel quale una o più disequazioni del sistema sia riconducibile al seguente tipo:
Sappiamo che questo tipo di disequazione si dice DISEQUAZIONE FRATTA dato che l'INCOGNITA si trova al DENOMINATORE.
Le regole da seguire sono sempre le stesse: sia per quanto riguarda la risoluzione delle disequazioni fratte che per quanto riguarda la soluzione del sistema. Tuttavia dobbiamo fare attenzione a non fare confusione nelle soluzioni trovate. Vediamo il perché con un esempio. Supponiamo di dover risolvere il seguente sistema:
Osserviamo che la prima disequazione è frazionaria: il numeratore è un trinomio di secondo grado, mentre il denominatore è un binomio di primo grado.
La seconda disequazione è di primo grado.
Iniziamo col risolvere la prima disequazione. Trattandosi di una frazione dobbiamo STUDIARE il SEGNO DEL NUMERATORE e il SEGNO DEL DENOMINATORE separatamente e successivamente studiare e il SEGNO DELLA FRAZIONE.
Risolviamo separatamente il numeratore e il denominatore.
NUMERATORE:
x2 +10x + 10 > 0
Δ > 0 - si applica la regola del DICE - Poiché il segno del primo coefficiente (+1) e il segno della disequazione (>) sono CONCORDI le soluzioni sono date dai valori di x ESTERNI all'intervallo dei valori trovati. Quindi:
x < -8 e x > -2.
DENOMINATORE:
x -1 > 0
x > 1.
Rappresentiamo graficamente il risultato del numeratore e del denominatore:
Ricordiamo che:
- la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione;
- la LINEA TRATTEGGIATA indica i valori che NON SODDISFANO la disequazione;
- il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;
- il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.
Ora studiamo il segno della frazione. Per la REGOLA dei SEGNI sappiamo che un QUOZIENTE è POSITIVO quando:
- ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono POSITIVI;
- o
- ENTRAMBI I TERMINI della divisione sono NEGATIVI.
Quindi la nostra disequazione avrà i seguenti segni:
Abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi per rendere più chiara la spiegazione.
La parte del grafico contraddistinta dal colore fucsia, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e -8. In questo intervallo il numeratore è positivo, mentre il denominatore è negativo: il loro QUOZIENTE è NEGATIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra -8e -2. In questo intervallo sia il numeratore che il denominatore sono negativi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra -2 e +1. In questo intervallo il numeratore è positivo, mentre il denominatore è negativo. Quindi il QUOZIENTE è NEGATIVO.
La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra +1 e più infinito. In questo intervallo entrambi i termini della frazione sono positivi e dunque, il loro QUOZIENTE è POSITIVO.
Poiché noi dobbiamo cercare i valori della x che rendono positiva la nostra disequazione possiamo dire che ciò accade quando
-8 < x < -2
x > +1.
Ora torniamo al nostro sistema. E risolviamo la seconda disequazione:
x + 1 ≥ 0
x ≥ - 1.
Ora andiamo a prendere le SOLUZIONI COMUNI ad ENTRAMBRE le disequazioni..
Per fare ciò, disegniamo la nostra RETTA ORIENTATA. Ricordiamo che per rappresentare graficamente le soluzioni delle due disequazioni si usano le seguenti convenzioni:
- la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione (ATTENZIONE!!! In questo caso, a differenza di ciò che abbiamo visto nel caso precedente, non si usa la linea tratteggiata per indicare i valori che non soddisfano la disequazione);
- il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;
- il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.
Tornando al nostro esempio avremo:
Esaminiamo il grafico:
- la prima disequazione è verificata per le x comprese tra -8 e -2. Tali valori sono indicati dalla linea continua. Il cerchietto vuoto su -8 e -2 indicano che tali valori non soddisfano la nostra disequazione. La disequazione è verificata anche per i valori di x maggiori di +1. Anche in questo caso il cerchietto vuoto indica che +1 non soddisfa la disequazione.
- la seconda disequazione è verificata per le x maggiori di 1. Tali valori sono indicati dalla linea continua. Il cerchietto pieno su +1 indica che tale valore soddisfa la disequazione.
Ora andiamo a cercare i VALORI CHE SODDISFANO ENTRAMBE LE DISEQUAZIONI.
Quindi, possiamo dire che il sistema è verificato per i valori di x maggiori di +1, con +1 escluso:
x > 1.
Con questa lezione abbiamo voluto sottolineare la necessità di stare attenti a non confondere tra lo studio del segno di una disequazione e la soluzione di un sistema di disequazioni.
