COME SI RISOLVE UN SISTEMA DI DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
- Sistemi di disequazioni di secondo grado
- Disequazioni razionali intere di secondo grado
- Come si risolvono le disequazioni intere di secondo grado
- Risoluzione di disequazioni intere di secondo grado
- L'insieme dei numeri reali
Dopo aver visto, nella precedente lezione, cos'è e come si presenta un SISTEMI DI DISEQUAZIONI di SECONDO GRADO ora vedremo come si risolvono.
Per RISOLVERE un SISTEMA DI DISEQUAZIONI di SECONDO GRADO occorre:
- RISOLVERE le DISEQUAZIONI del SISTEMA una per una.
- PRENDERE i VALORI dell'INCOGNITA che SODDISFANO CONTEMPORANEAMENTE tutte le disequazioni.
Questa seconda fase viene normalmente svolta con uno schema simile a quello usato per la rappresentazione delle soluzioni di una disequazione. Vediamo in pratica come fare.
Supponiamo di voler risolvere il sistema che abbiamo visto nella lezione precedente, ovvero:
Per prima cosa risolviamo le due disequazioni date, nei modi consuenti. Come possiamo notare il sistema è formato da due disequazioni intere di secondo grado. Pertanto avremo:
1° DISEQUAZIONE
Δ < 0 - Il trinomio ha segno uguale a quello del primo coefficiente (+5): quindi esso è sempre positivo per qualunque valore di x. Di conseguenza la disequazione è sempre verificata.
2° DISEQUAZIONE
Δ > 0 - si applica la regola del DICE - Poiché il segno del primo coefficiente (+1) e il segno della disequazione (>) sono CONCORDI le soluzioni sono date dai valori di x ESTERNI all'intervallo dei valori trovati. Quindi:
x < 3 e x > 4.
Una volta risolte le due disequazioni andiamo a prendere le SOLUZIONI COMUNI ad ENTRAMBE.
Per fare ciò, disegniamo la nostra RETTA ORIENTATA ricordando che una retta si dice orientata quando su di essa è FISSATO UN VERSO di PERCORRENZA. Noi lo indichiamo con una FRECCIA che indica il verso da sinistra verso destra.
Tale retta rappresenta i NUMERI REALI.
Per rappresentare graficamente le soluzioni delle due disequazioni si usano le seguenti convenzioni:
- la LINEA CONTINUA indica i valori che SODDISFANO la disequazione (ATTENZIONE!!! In questo caso, a differenza di ciò che accade per la rappresentazione delle soluzioni di una disequazione, non si usa la linea tratteggiata per indicare i valori che non soddisfano la disequazione);
- il CERCHIETTO PIENO indica che il valore è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione;
- il CERCHIETTO VUOTO indica che il valore NON è COMPRESO nelle soluzioni della disequazione.
Nel nostro esempio la soluzione sarebbe stata indicata così:
Esaminiamo il grafico:
- la prima disequazione è verificata per qualsiasi valore di x: questa soluzione è rappresentata da una linea continua che va da meno infinito a più infinito;
- la seconda disequazione è verificata per le x minori di 3 ele x maggiori di 4. Tali valori sono indicati dalla linea continua. I cerchietti vuoti sul 3 e sul 4 indicano che tali valori non soddisfano la disequazione.
Ora cerchiamo i VALORI CHE SODDISFANO ENTRAMBE LE DISEQUAZIONI. Per rendere più chiara la spiegazione abbiamo contraddistinto le varie parti del grafico con colori diversi.
La parte del grafico contraddistinta dal colore verde, rappresenta l'intervallo compreso tra meno infinito e 3. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono soddisfatte.
La parte del grafico contraddistinta dal colore azzurro, rappresenta l'intervallo compreso tra 3 e 4. In questo intervallo una sola disequazione è soddisfatta.
La parte del grafico contraddistinta dal colore giallo, rappresenta l'intervallo compreso tra 4 e più infinito. In questo intervallo entrambe le disequazioni sono soddisfatte.
Le soluzioni del sistema sono rappresentate dai valori di x che soddisfano entrambe le disequazioni, quindi:
x < 3 e x > 4.
Nella prossima lezione vedremo come si applicano le regole che abbiamo appena visto ai sistemi che comprendono disequazioni fratte.
