SISTEMI DETERMINATI, INDETERMINATI ED IMPOSSIBILI
- Sistemi di equazioni
- Formule per la soluzione di un sistema di equazioni
- Equazioni determinate, indeterminate, impossibili
Abbiamo visto in una precedente lezione che, dato il sistema
i valori della x e della y che lo soddisfano possono essere determinati così:
Come possiamo notare il denominatore delle due frazioni è lo stesso.
Se
ab' - a'b ≠ 0
il sistema è DETERMINATO e il valore della x e della y si ottengono dalle due formule viste sopra.
Vediamo ora cosa accade se
ab' - a'b = 0.
In questo caso avremo che:
ab' = a'b.
Dividiamo i due termini per a'b' e avremo:
ab'/a'b' = a'b/a'b'
a/a' = b/b'.
Ora immaginiamo che il numeratore della prima frazione
b'c - bc' = 0
il che equivale a dire che
b'c = bc'.
Dividiamo i due termini per b'c' e avremo:
b'c/b'c' = bc'/b'c'
c/c' = b/b'.
Ora notiamo che, se
a/a' = b/b'
e
c/c' = b/b'
possiamo scrivere anche che
a/a' = c/c'.
Questo significa dire che, anche
ac' - a'c = 0
cioè si annulla anche il numeratore della seconda frazione.
Infatti:
ac' = a'c.
Dividiamo entrambi i termini per a'c' e abbiamo
ac'/a'c' = a'c/a'c'
ovvero
a/a' = c/c'.
Quindi se è nulla una delle quantità
b'c - bc'
ac' - a'c
è nulla anche l'altra e il sistema è INDETERMINATO poiché i valori di x e di y sono riconducibili alla forma 0/0.
Se, invece,
ab' - a'b = 0
mentre
b'c - bc' ≠0
e di conseguenza, per quanto detto sopra, anche
ac' - a'c ≠0
il sistema è IMPOSSIBILE poiché i valori di x e y sono riconducibili alla forma n/0, con n ≠0.
