PRINCIPIO DI RIDUZIONE DI UN SISTEMA
- Sistemi di equazioni
- Principi di equivalenza dei sistemi
- Principio di sostituzione di un sistema
- Principi di equivalenza delle equazioni
Nella lezione precedente abbiamo detto che la risoluzione dei SISTEMI DI EQUAZIONI si fonda su due principi: il PRINCIPIO di RIDUZIONE e il PRINCIPIO di SOSTITUZIONE.
In questa lezione cercheremo di capire meglio in cosa consiste il PRINCIPIO di RIDUZIONE.
Abbiamo già detto che il PRINCIPIO di RIDUZIONE afferma che, se in un SISTEMA di EQUAZIONI SOSTITUIAMO ad una di esse, l'equazione che si ottiene ADDIZIONANDO MEMBRO A MEMBRO TUTTE LE EQUAZIONI del SISTEMA, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
Partiamo allora dal sistema:
dove A, B, C sono espressioni con incognite.
Ora prendiamo la prima equazione
A = 0
e sostituiamo ad essa l'equazione che si ottiene addizionando, membro a membro tutte le equazioni del sistema, avremo:
A + B + C = 0 + 0 + 0
ovvero
A + B + C = 0.
Pertanto il nostro sistema diventerà:
Ora vogliamo dimostrare che questo sistema è equivalente a quello di partenza.
Le soluzioni del primo sistema sono quelle che rendono uguali a zero le espressioni A, B, e C. Ma se esse sono uguali a zero lo è anche l'espressione A + B + C. E quindi tali soluzioni renderanno nullo anche il secondo sistema.
Viceversa le soluzioni che rendono uguali a zero le espressioni A + B + C, B e C annullano anche l'espressione A. Infatti se
B = 0
C = 0
sarà
A + 0 + 0 = 0
cioè
A = 0.
Possiamo allora dire che ogni soluzione del primo sistema è anche soluzione del secondo sistema, quindi i due SISTEMI sono EQUIVALENTI.
Ovviamente la dimostrazione che abbiamo appena fatto è valida a prescindere dal numero delle equazioni che compongono il sistema.
