SISTEMI OMOGENEI DI QUARTO GRADO
- Sistemi di equazioni di grado superiore al primo
- Grado di un polinomio
- I polinomi
- I monomi
- Raccoglimento a fattor comune
- Moltiplicazione
Ci occuperemo, in questa lezione, della risoluzione dei SISTEMI OMOGENEI DI QUARTO GRADO.
Un sistema di questo tipo si presenta nel modo seguente:
Osserviamo questo sistema e notiamo che le due equazioni di cui esso è composto sono formate, entrambe, a PRIMO MEMBRO da un POLINOMIO OMOGENEO DI SECONDO GRADO.
Ricordiamo che un polinomio si dice OMOGENEO se tutti i suoi TERMINI sono dello stesso grado. Pertanto tutti i monomi contenuti in un polinomio omogeneo devono essere dello stesso grado e, nel nostro caso, di secondo grado.
Nel nostro caso
| TERMINI DEL POLINOMIO | GRADO |
|---|---|
| ax2 | 2 |
| by2 | 2 |
| cxy | 1+1 = 2 |
Supponiamo che:
d = 0 e d' = 0.
Il sistema assume la seguente forma:
Sicuramente il sistema è soddisfatto dai valori
x = 0 e y = 0.
Infatti
Oltre alla soluzione
(0, 0)
il sistema potrebbe ammettere altre soluzioni. Per cercarle poniamo
x = ty
e sostituiamo nelle due equazioni del sistema in modo da avere:
A questo punto, mettiamo in evidenza, in entrambe le equazioni y2 e avremo:
Dividiamo, entrambe le equazioni per y2. Per fare ciò dovremmo porre come condizione che
y ≠ 0
ma non ce n'è bisogno, in quanto stiamo cercando le radici del sistema diverse da zero, dato che la soluzione
x = 0 e y = 0
l'abbiamo già trovata.
Dividiamo, entrambe le equazioni per y2 avremo:
Ora si tratta di risolvere un sistema di due equazioni di secondo grado la cui incognita è t:
Una volta risolte le due equazioni, poiché stiamo risolvendo un sistema, dovremo cercare le soluzioni comuni ad entrambe e sostituirle in
x = ty
in modo da trovare le coppie di valori x e y che soddisfano il sistema.
Vediamo come applicare queste regole attraverso un esempio:
La prima soluzione che sicuramente ammette il sistema è:
x = 0 e y = 0.
Ora vediamo se il sistema ammette altre soluzioni. Per cercarle poniamo
x = ty.
Avremo:
A questo punto, mettiamo in evidenza, in entrambe le equazioni y2 e avremo:
Dividiamo, entrambe le equazioni per y2:
Ora si tratta di risolvere un sistema di due equazioni di secondo grado la cui incognita è t. Avremo:
1° equazione:
2° equazione:
Come possiamo notare le due equazioni non hanno nessuna soluzione comune, in quanto i valori assunti da t1 e t2 nella prima equazione sono diversi da quelli assunti da t1 e t2 nella seconda equazione. Questo significa che il sistema ha come unica soluzione
x = 0 e y = 0.
Continueremo nelle prossime lezioni a vedere gli altri casi di risoluzione di sistemi omogenei di secondo grado.
