ARCOTANGENTE
Continuiamo l'esame delle funzioni goniometriche inverse, occupandoci dell'ARCOTANGENTE.
Ricordiamo che la FUNZIONE TANGENTE è:
y = tan α
Come è noto la TANGENTE può assumere qualsiasi valore appartenente all'insieme dei numeri reali R: questo è il suo CODOMINIO.
Mentre la tangente NON è DEFINITA per gli angoli di ampiezza (π/2)+kπ: quindi il suo DOMINIO è dato dalle x ≠ (π/2)+kπ.
Ecco come si presenta il grafico della funzione tangente:
Per poter invertire la funzione tangente occorre limitare il suo dominio in modo da rendere la funzione biunivoca: andremo, quindi, a considerare l'intervallo aperto -π/2, +π/2, cioè:
]-π/2, +π/2[
che si legge
intervallo aperto - pi greco mezzi + pi greco mezzi.
Dire che l'intervallo è aperto significa dire che i valori -π/2 e +π/2 sono esclusi.
La FUNZIONE INVERSA della TANGENTE si chiama ARCOTANGENTE e si indica con i simboli:
arcotan
oppure
arcotg
che si leggono entrambi
arcotangente.
Ma l'arcotangente può essere indicata anche con i simboli:
tan-1
oppure
tg-1
che si leggono entrambi
tangente alla meno 1.
Supponiamo di avere un angolo, che chiamiamo y la cui tangente vale x, ovvero:
x = tan y
La funzione inversa sarà:
y = arcotan x
In altre parole l'ARCOTANGENTE è l'ANGOLO che ha un determinato valore di tangente.
Vediamo, adesso, come possiamo costruire il GRAFICO della FUNZIONE ARCOTANGENTE.
Iniziamo col prendere il GRAFICO della FUNZIONE TANGENTE nell'intervallo ]-π/2, +π/2[:
Ora disegniamo la BISETTRICE del PRIMO e del TERZO quadrante, ovvero la retta di equazione
y = x
e, così come abbiamo fatto nelle lezioni precedenti, andiamo a disegnare la curva SIMMETRICA a y = tan x rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante:
Quello che abbiamo ottenuto è il GRAFICO della FUNZIONE ARCOTANGENTE che riportiamo nell'immagine sottostante dove viene evidenziato come la funzione arcotangente sia stata ottenuta dalla funzione tangente scambiando i valori della x con quelli della y.
E' evidente, quindi, che la FUNZIONE ARCOTANGENTE ha come
DOMINIO: l'insieme dei numeri reali
CODOMINIO: ] -π/2 , +π/2 [.
