EQUAZIONI CON DUE MODULI
- Nozione di valore assoluto
- Equazioni con valore assoluto
- Equazioni con valore assoluto e lo zero
- Equazioni con valore assoluto ed una costante
- Equazioni con valore assoluto e incognita anche fuori dal modulo
- Equazioni con due moduli
- Equazioni con tre o più moduli
- Equazioni con un valore assoluto dentro l'altro
- Equazioni fratte con valore assoluto
- Risoluzione di equazioni con valore assoluto
Continuiamo l'esame dei vari tipi di EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO e vediamo le equazioni nelle quali compaiono
- in un membro il MODULO con l'INCOGNITA;
- e anche nell'altro membro il MODULO con l'INCOGNITA
-
e nient'altro oltre ai due moduli.
La nostra equazione avrà la forma:
|A(x)| = |B(x)|.
In altre parole abbiamo l'uguaglianza di due moduli che contengono, entrambi, l'incognita. Inoltre non abbiamo nient'altro oltre ai due moduli.
Poiché a primo membro e a secondo membro abbiamo due valori assoluti, quindi due valori sempre positivi, essi saranno uguali:
- quando i valori compresi tra i due
moduli sono UGUALI. Cioè quando
A(x) = B(x)
- quando i valori compresi tra i due
moduli sono l'uno l'OPPOSTO
dell'altro. Cioè quando
A(x) = - B(x).
Quindi, le soluzioni della nostra equazione sono:
A(x) = B(x) ˅ A(x) = - B(x)
che si legge
A con x uguale B con x oppure A con x uguale meno B con x.
Esempio:
|4x - 2| = |5x-5|.
Le soluzioni dell'equazione si ottengono risolvendo
4x - 2 = 5x -5
e risolvendo
4x - 2 = - (5x - 5).
Iniziamo dalla prima equazione:
4x - 2 = 5x -5
4x - 5 x = -5 + 2
-x = -3
x = 3.
Passiamo alla seconda equazione:
4x - 2 = - (5x - 5)
4x - 2 = -5x +5
4x +5x = 5 + 2
9x = 7
x = 7/9.
Quindi le soluzioni dell'equazione sono:
x = 3 ˅ x = 7/9.
Così come abbiamo visto nella lezione precedente, anche in questo caso, l'equazione da risolvere si potrebbe presentare in una forma diversa, ma ad essa riconducibile.
Esempio:
|2x - 1| - |3x - 6| = 0.
Basta portare uno dei due moduli a secondo membro, ricordandoci di cambiare di segno:
|2x - 1| = |3x - 6|.
Abbiamo ricondotto l'equazione alla forma precedente e possiamo andare a risolverla ponendo:
2x - 1 = 3x - 6
e
2x - 1 = - (3x - 6).
Risolviamo la prima:
2x - 1 = 3x - 6
2x - 3x = - 6 + 1
-x = -5
x = 5.
Passiamo alla seconda:
2x - 1 = - (3x - 6)
2x - 1 = -3x + 6
2x + 3x = +6 + 1
5x = 7
x = 7/5.
Quindi, le nostre soluzioni sono:
x = 5 ˅ x = 7/5.
Più volte abbiamo ribadito che questo modo di procedere vale solamente nel caso in cui abbiamo un modulo al primo membro dell'equazione e un modulo al secondo membro dell'equazione, entrambe contenenti l'incognita, ma oltre ai due moduli non vi deve essere nient'altro. Vedremo, nella prossima lezione, come procedere a risolvere casi più complessi nei quali non vi è la sola presenza dei due moduli.
