FORMULA DI TRIPLICAZIONE DEL SENO
- Formula di addizione del seno
- Formula di duplicazione del seno
- Formula di duplicazione del coseno
- Prima relazione fondamentale della goniometria
E se invece della formula di duplicazione del seno volessimo trovare la FORMULA DI TRIPLICAZIONE DEL SENO?
La cosa è piuttosto semplice. Basta scrivere:
sen 3α = sen (2α + α)
A questo punto, ricordando che la FORMULA DI ADDIZIONE del SENO è:
sen (α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β
sostituiamo ed otteniamo:
sen (2α + α) = sen 2α · cos α + cos 2α · sen α
Abbiamo appreso, inoltre, che la FORMULA DI DUPLICAZIONE del SENO e quella di DUPLICAZIONE del COSENO sono rispettivamente:
sen 2α = 2 sen α · cos α
cos 2α = cos2 α - sen2 α
Andiamo quindi a sostituire, queste formule, nella precedente e scriviamo:
sen (2α + α) = (2 sen α · cos α) · cos α + (cos2 α - sen2 α) · sen α
Eseguiamo i prodotti indicati:
sen (2α + α) = 2 sen α · cos2 α + cos2 α · sen α - sen3 α
Sommiamo i termini simili:
sen (2α + α) = 3 sen α · cos2 α - sen3 α
La PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA ci dice che
cos2 α = 1 - sen2 α
Andando a sostituire nella precedente possiamo scrivere:
sen (2α + α) = 3 sen α · (1 - sen2 α) - sen3 α
da cui otteniamo:
sen (2α + α) = 3 sen α - 3 sen3 α - sen3 α = 3 sen α - 4 sen3 α
Quindi possiamo dire che la FORMULA DI TRIPLICAZIONE del SENO è:
sen 3α = 3 sen α - 4 sen3 α
