PRODOTTO CARTESIANO DI UN INSIEME PER SE STESSO
- Nozione di insieme
- Insiemi finiti e infiniti
- Cardinalità di un insieme finito
- Sottoinsiemi di un insieme
- Coppie ordinate
- Prodotto cartesiano di insiemi
- Rappresentazione del prodotto cartesiano
- Cardinalità del prodotto cartesiano
- Implicazione logica
Dopo aver parlato del PRODOTTO CARTESIANO, di come esso può essere RAPPRESENTATO e della sua CARDINALITA' ora esamineremo un caso particolare di prodotto cartesiano ovvero il PRODOTTO CARTESIANO di un INSIEME per SE STESSO.
Vogliamo vedere cosa accade quando dobbiamo eseguire il prodotto:
A x B
sapendo che
B = A.
Di conseguenza il nostro prodotto si trasforma in:
AxA
che diventa
A2.
Quindi possiamo dire che
A xA
è il prodotto dell'insieme A per se stesso
e
A2
è il quadrato dell'insieme A.
Possiamo esprimere tale quadrato in simboli, così:
che si legge
A al quadrato è uguale all'insieme delle coppie ordinate x, y tali che x appartiene ad A e y appartiene ad A.
Dalla precedente lezione abbiamo appreso che il NUMERO DI ELEMENTI del prodotto cartesiano AxB, cioè la sua CARDINALITA', è uguale al PRODOTTO tra il NUMERO DI ELEMENTI di A e il NUMERO DI ELEMENTI di B.
Ora nel nostro caso, se il numero degli elementi di A è uguale ad n, il prodotto cartesiano AxA avrà CARDINALITA'
n·n
ovvero
n2.
Se, invece, A ha un numero INFINITO di elementi, anche A2 avrà un numero infinito di elementi.
Vediamo un esempio di PRODOTTO CARTESIANO di un INSIEME per SE STESSO.
Dato l'insieme
A = {a, b}
vogliamo eseguire il prodotto cartesiano di A per se stesso.
A2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}.
Rappresentiamo il nostro prodotto cartesiano con un DIAGRAMMA CARTESIANO.
Facciamo alcune osservazioni sul grafico riportato sopra.
Abbiamo scelto la STESSA UNITA' DI MISURA sull'asse delle x e su quella delle y dato che B = A.
Tra gli elementi di A2 vi sono due coppie formate dagli stessi elementi: esse sono (a, a) e (b, b). Tali coppie costituiscono un sottoinsieme di A2 che prende il nome di DIAGONALE di A2. Il motivo è evidente osservando il grafico:
Notiamo anche che le coppie formate dagli stessi elementi sono 2: tante quanti sono gli elementi di A.
Generalizzando possiamo dire che, nell'insieme A2 vi sono tante COPPIE con le COMPONENTI UGUALI quanti sono gli elementi di A. Esse costituiscono un sottoinsieme di A2 che prende il nome di nome di DIAGONALE di A2.
Utilizzando i simboli possiamo scrivere:
che si legge
per qualunque a appartenente all'insieme a avremo che se a appartiene all'insieme A allora la coppia ordinata (a,a) appartiene all'insieme A2
Facciamo un'altra osservazione: all'insieme A2 appartengono sia la coppia (a, b) che la coppia (b, a) che è ottenuta dalla precedente scambiandone le componenti.
Anche in questo caso, generalizzando, possiamo dire che se una coppia (a, b) appartiene ad A vi appartiene anche la coppia (b, a) ottenuta dalla precedente scambiandone le componenti.
Utilizzando i simboli possiamo scrivere:
che si legge
per qualunque a e b appartenente all'insieme A avremo che, se la coppia ordinata (a,b) appartiene all'insieme A allora anche la coppia ordinata (b,a) appartiene all'insieme A2.
