RIPARTI PROPORZIONALI COMPOSTI INVERSI
- Costanti e variabili
- Grandezze direttamente proporzionali
- Grandezze inversamente proporzionali
- Riparti proporzionali
- Serie di rapporti uguali
- Inverso di una frazione
- Riparti proporzionali semplici diretti
- Riparti proporzionali semplici inversi
- Riparti proporzionali composti diretti
- Riparti composti misti
- Coefficiente di riparto
Vediamo ora come si risolvono i RIPARTI PROPORZIONALI COMPOSTI INVERSI.
Ricordiamo che in questo tipo di riparto il numero da dividere viene suddiviso in parti INVERSAMENTE PROPORZIONALI a DUE o PIU'GRANDEZZE.
Vediamo il seguente esempio:
un benefattore decide di dividere tra tre famiglie bisognose la somma di 30.000 euro. Tale somma viene ripartita in proporzione inversa sia alle entrate mensili di ciascuna famiglia che al numero dei componenti abili al lavoro.
Determinare la somma erogata a ciascuna famiglia sapendo che:
- la prima famiglia ha entrate mensili di 500 euro e 2 persone abili al lavoro;
- la seconda famiglia ha entrate mensili di 450 euro e 1 persona abile al lavoro;
- la terza famiglia ha entrate mensili di 650 euro e 3 persone abili al lavoro.
La grandezza da ripartire, che chiamiamo S, è la somma di 30.000 euro. Quindi:
S = 30.000.
Tale somma va ripartita tra le tre famiglie in proporzione inversa sia alle entrate mensili che al numero di persone abili al lavoro presenti in famiglia.
Quindi ci troviamo di fronte ad un PROBLEMA di RIPARTIZIONE COMPOSTA INVERSA. Infatti il compenso viene ripartito in parti proporzionali a più di una grandezza: le entrate mensili e il numero di persone abili al lavoro. Inoltre esso deve essere suddiviso in parti inversamente proporzionali a tali grandezze.
Vediamo come possiamo risolvere questo tipo di problema.
Dobbiamo calcolare tre numeri, che chiamiamo x, y e z, tali che la loro somma sia pari a 30.000 e che siano inversamente proporzionali sia a 500, a 450 e a 650 che a 2, 1, 3.
Quindi possiamo scrivere:
x + y + z = 30.000.
Inoltre
| SOMMA EROGATA (1) |
ENTRATE MENSILI (2) |
PERSONE ABILI AL LAVORO (3) |
|---|---|---|
| x | 500 | 2 |
| y | 450 | 1 |
| z | 650 | 3 |
tali che la somma erogata sia INVERSAMENTE PROPORZIONALE sia alle entrate mensili che alle persone abili al lavoro presenti in famiglia.
Possiamo allora ripartire la somma erogata in maniera inversamente proporzionale al prodotto tra entrate mensili e persone abili al lavoro:
| SOMMA EROGATA (1) |
ENTRATE MENSILI (2) |
PERSONE ABILI AL LAVORO (3) |
ENTRATE x PERSONE (2) x (3) |
|---|---|---|---|
| x | 500 | 2 | 500 x 2 = 1.000 |
| y | 450 | 1 | 450 x 1 = 450 |
| z | 650 | 3 | 650 x 3 = 1.950 |
Avremo allora:
x : 1/1.000 = y : 1/450 = z : 1/1.950.
Ma noi sappiamo che in una SERIE DI RAPPORTI UGUALI la SOMMA DEGLI ANTECEDENTI sta alla SOMMA DEI CONSEGUENTI come UN ANTECEDENTE sta al SUO CONSEGUENTE.
Quindi possiamo scrivere:
(x + y + z) : (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/1.000
(x + y + z) : (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/450
(x + y + z) : (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/1.950.
Ma dato che noi sappiamo che
x + y + z = 30.000
avremo:
30.000 : (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/1.000
30.000 : (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/450
30.000 : (1/1.000 + 1/450 + 1/1.950) = x : 1/1.950.
Quindi troviamo i valori di x, y e z:
Ora osserviamo le formule scritte sopra:
- 30.000 è il valore di S, cioè il numero che dobbiamo ripartire;
- S deve essere ripartito in maniera
inversamente proporzionale a 1.000,
450 e 1.950.
Questi tre valori sono rispettivamente il prodotto tra
reddito mensile e numero dei familiari abili al lavoro. Allora chiamiamo:
- a
il reddito mensile della prima famiglia e m
il numero dei familiari abili al lavoro della prima famiglia e di
conseguenza
1.000 = a x m
- b
il reddito mensile della seconda famiglia e n
il numero dei familiari abili al lavoro della seconda famiglia e di conseguenza
450 = b x n
- c
il reddito mensile della terza famiglia e p
il numero dei familiari abili al lavoro della terza famiglia e di conseguenza
1.950 = c x p.
- a
il reddito mensile della prima famiglia e m
il numero dei familiari abili al lavoro della prima famiglia e di
conseguenza
Le tre formule viste sopra le possiamo allora scrivere nel modo seguente:
Notiamo che queste formule hanno tutte una parte comune che prende il nome di COEFFICIENTE DI RIPARTO.
Quindi i RIPARTI COMPOSTI INVERSI si risolvono MOLTIPLICANDO il COEFFICIENTE DI RIPARTO per il RECIPROCO del PRODOTTO delle DIVERSE GRANDEZZE CONOSCIUTE in base alle quali occorre effettuare il riparto.
Tornando all'esempio precedente, avremmo potuto risolvere il problema così:
Notiamo che la somma dei tre valori ottenuti x (8.032), y (17.849) e z (4.119) è pari a 30.000.
