INTRODUZIONE AL CONCETTO DI RADIANTE
- Nozione di angolo
- Come si misura l'ampiezza di un angolo
- Lunghezza della circonferenza
- Archi di una circonferenza
Nella lezione precedente abbiamo accennato al RADIANTE, come unità di misura dell'AMPIEZZA degli ANGOLI usato nel SISTEMA INTERNAZIONALE.
In questa lezione ci occuperemo meglio del RADIANTE per capire esattamente cos'è.
Iniziamo col dire che il RADIANTE è una MISURA LINEARE dell'ANGOLO e che il simbolo con il quale viene indicato è rad.
Per comprendere in cosa consiste il radiante bisogna capire qual è la relazione esistente tra ANGOLI AL CENTRO
di una circonferenza
e gli ARCHI CORRISPONDENTI.
Dallo studio della geometria abbiamo appreso che la LUNGHEZZA di un ARCO è DIRETTAMENTE PROPORZIONALE all'AMPIEZZA DELL'ARCO corrispondente.
Ricordiamo che la LUNGHEZZA della CIRCONFERENZA è pari a
C = 2πr
Data la circonferenza di raggio r
è evidente che:
- se l'angolo al centro ha un'ampiezza di 0°, la lunghezza dell'arco corrispondente sarà 0;
- se l'angolo al centro ha un'ampiezza di 360°, la lunghezza dell'arco corrispondente sarà pari all'intera circonferenza, ovvero 2πr;
- se l'angolo al centro ha un'ampiezza di 180°, la lunghezza dell'arco corrispondente sarà pari alla metà della circonferenza, ovvero (2πr)/2 = πr;
- se l'angolo al centro ha un'ampiezza di 90°, la lunghezza dell'arco corrispondente sarà pari alla quarta parte della circonferenza, ovvero (2πr)/4 = (πr)/2 ;
- se l'angolo al centro ha un'ampiezza di 1°, la lunghezza dell'arco corrispondente sarà pari alla trecentosessantesima parte della circonferenza, ovvero (2πr)/360 = (πr)/180;
Generalizzando possiamo dire che, se indichiamo con:
α° l'ampiezza dell'angolo al centro
e con
l la lunghezza dell'arco corripondente
avremo la seguente relazione
l : α° = 2πr : 360°
Quindi, conoscendo l'ampiezza dell'angolo α° possiamo determinare la lunghezza dell'arco corrispondente che sarà pari a
La relazione appena vista può essere scritta anche così:
che semplificando diventa
Esempio:
supponiamo di avere una circonferenza il cui raggio r misura 5 cm. Vogliamo conoscere la lunghezza dell'arco corrispondente all'angolo al centro di 30°.
Basterà applicare la formula appena vista e avremo:
Ora, data la circonferenza di raggio r,
andiamo a disegnare una circonferenza ad essa concentrica,
di raggio r' tale che r' > r.
Osserviamo la nostra immagine e notiamo che, sia l'arco l che l'arco l' sono archi corrispondenti
all'angolo al centro α la cui ampiezza, quindi, è la stessa in entrambi i casi (nell'esempio sopra tale ampiezza è di
30°).
Abbiamo detto che la lunghezza dell'arco l è:
e ovviamente la lunghezza dell'arco l' è:
Ora dividiamo entrambi i membri della prima relazione per il raggio r. Avremo:
Facciamo la stessa cosa con la seconda relazione e dividiamo entrambi i membri per il raggio r'. Avremo:
Ora mettiamo a confronto le due relazioni ottenute:
Notiamo che:
- π/180 è una COSTANTE, uguale in entrambe le relazioni scritte;
- l'ampiezza dell'angolo α° è sempre la stessa in entrambe le relazioni. Questo significa che il RAPPORTO tra la LUNGHEZZA DI UN ARCO e il RAGGIO della sua circonferenza è uguale anche in circonferenze diverse, cioè aventi raggio diverso, se consideriamo archi corrispondenti ad ANGOLI al CENTRO della STESSA AMPIEZZA. Infatti, nel nostro esempio i secondi membri delle due relazioni scritte sono uguali, quindi saranno uguali anche i primi membri delle due relazioni viste. In altre parole possiamo scrivere:
Questo ci permette di introdurre il concetto di
RADIANTE che vedremo meglio nella prossima lezione.
