COSECANTE
Disegniamo la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato α:
Ora disegniamo la retta TANGENTE alla circonferenza goniometrica nel punto P:
ed indichiamo:
- con S il punto in cui tale retta interseca l'asse delle ascisse;
- e con C il punto in cui tale retta interseca l'asse delle ordinate.
Abbiamo già visto, nelle lezioni precedenti, il concetto di secante dell'angolo α, ora vediamo in cosa consiste la COSECANTE.
Si chiama COSECANTE l'ORDINATA del punto C in cui, la retta secante la circonferenza goniometrica nel punto P, interseca l'asse delle y.
Indichiamo la cosecante con il simbolo
cosec α
oppure
csc α
che si leggono entrambi
cosecante di alfa
Esiste, però, anche un altro modo di definire la cosecante.
Per farlo osserviamo i triangoli OHP e OCP:
Essi hanno in comune due angoli:
- l'angolo che, nell'immagine sottostante, abbiamo chiamato β (che si legge beta);
- inoltre, entrambi i triangoli hanno un angolo retto:
- quello con vertice nel punto H, nel caso del triangolo OHP. Essendo la retta PH perpendicolare all'asse delle ascisse, forma con essa 4 angoli retti;
- quello con vertice nel punto P, nel caso del triangolo OCP. Infatti, una retta tangente alla circonferenza forma, con il raggio della circonferenza, quattro angoli retti, essendo la tangente perpendicolare al raggio.
Ma noi sappiamo che due triangoli che hanno due angoli ordinatamente congruenti sono SIMILI tra loro.
Di conseguenza, questi due triangoli hanno i LATI CORRISPONDENTI PROPORZIONALI. Quindi saranno tra loro proporzionali:
- il lato OC del triangolo OCP
con
il lato OP del triangolo OPH
- e il lato OP del triangolo OCP con
il lato OH del triangolo OPH
Pertanto possiamo scrivere la seguente proporzione:
OC : OP = OP : OH
Dove:
- i termini a sinistra del simbolo = indicano rispettivamente l'IPOTENUSA e il CATETO compreso tra l'angolo β e l'angolo retto del triangolo OPC;
- mentre i termini a destra del simbolo = indicano rispettivamente l'IPOTENUSA e il CATETO compreso tra l'angolo β e l'angolo retto del triangolo OPH.
Ma noi sappiamo che OH non è altro che il SENO dell'angolo α e sappiamo anche che OP è il RAGGIO della circonferenza goniometrica che è uguale a 1. Quindi la nostra proporzione può essere scritta nel modo seguente:
OC : 1 = 1 : sen α
Inoltre OC è la COSECANTE dell'angolo α. Quindi possiamo scrivere:
cosec α : 1 = 1 : sen α
da cui otteniamo:
cosec α · sen α = 1 · 1
Eseguendo la moltiplicazione a secondo membro abbiamo:
cosec α · sen α = 1
da cui otteniamo
Quindi possiamo affermare che la COSECANTE è anche la FUNZIONE RECIPROCA del SENO.
