ARCHI CHE DIFFERISCONO DI π/2
In questa lezione andremo a vedere quale relazione esiste tra le funzioni goniometriche dell'angolo α e quelle dell'angolo (π/2) + α.
Iniziamo disegnando la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato α. Come, di consueto, indichiamo con P il punto associato a tale angolo.
Ora, sulla stessa circonferenza goniometrica, prendiamo l'angolo orientato (π/2)
e, ad esso, aggiungiamo l'angolo α in modo da ottenere l'angolo (π/2) + α
Andiamo ad indicare con P1 (che si legge P con uno) il punto associato all'angolo orientato (π/2) + α.
Sappiamo che le coordinate del punto P rappresentano il coseno e il seno di α. Ovvero:
P (cos α ;sen α)
A questo punto andiamo a disegnare il triangolo OHP e il triangolo OH1P1:
Entrambi i triangoli hanno un
angolo retto: quello con vertice in H
nel triangolo OHP e quello con vertice in H1 nel
triangolo OH1P1.
Possiamo affermare con certezza che si tratta di due angoli retti
poiché essi sono formati da una retta
che interseca perpendicolarmente
l'asse delle x, in un caso, e l'asse delle y, nell'altro.
Quindi entrambi i triangoli sono TRIANGOLI RETTANGOLI.
Nei due triangoli sono CONGUENTI:
- l'ipotenusa, infatti, sia OP che OP1 sono RAGGI della circonferenza goniometrica e quindi, sono pari ad 1;
- un angolo acuto ed esattamente
l'angolo con vertice in O.
Nel triangolo OHP sappiamo, come dato di partenza, che l'angolo con vertice in O è l'angolo α.
Nel triangolo OH1P1 evidentemente l'angolo con vertice in O è l'angolo α dato che lo abbiamo ottenuto da (π/2) + α.
Ma noi sappiamo che due triangoli rettangoli che hanno l'ipotenusa ed un angolo acuto congruenti, sono congruenti.
Quindi possiamo dire che:
- il segmento OH è congruente con il segmento OH1;
- e il segmento HP è congruente con il segmento H1P1;
Ma noi sappiamo che il segmento OH1 è il SENO dell'angolo (π/2) + α, mentre il segmento OH è il COSENO dell'angolo α.
Quindi, in prima approssimazione, possiamo dire che il SENO dell'angolo (π/2) + α è uguale al COSENO dell'angolo α. Abbiamo detto "in prima approssimazione" perché i due angoli si trovano in due quadranti diversi e, quindi, dobbiamo fare attenzione anche ai segni.
Ora, il coseno dell'angolo α è positivo e lo è anche il seno dell'angolo (π/2) + α quindi possiamo dire
Sappiamo poi che il segmento H1P1 è il COSENO dell'angolo (π/2) + α, mentre il segmento HP è il SENO dell'angolo α.
Quindi, anche qui in prima approssimazione, possiamo dire che il COSENO dell'angolo (π/2) + α è uguale al SENO dell'angolo α. Osserviamo, però, che il seno dell'angolo α è positivo, mentre il coseno dell'angolo angolo (π/2) + α è negativo, quindi i due segni sono opposti. Pertanto avremo:
Così come abbiamo visto nelle lezioni precedenti, anche in questo caso, possiamo ricavare dalle due funzioni goniometriche fondamentali tutte le altre.
Quindi:
Ma poiché abbiamo appena visto che:
La tangente dell'angolo (π/2) + α diventa:
Le altre funzioni goniometriche saranno:
Così, ad esempio, se abbiamo un angolo di 120° e vogliamo conoscere la sua tangente, possiamo ragionare in questi termini:
120° = 90° + 30°
quindi la tangente dell'angolo di 120° è uguale all'opposto della contangente dell'angolo di 30° e poiché la contangente dell'angolo di 30° è pari alla radice quadrata di 3, possiamo dire che la tangente dell'angolo di 120° è pari alla radice quadrata di tre.
