EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE ALL'ELLISSE E PASSANTE PER UN PUNTO

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• L'ellisse
• Posizione di una retta rispetto all'ellisse
• Retta tangente all'ellisse da un punto
• Equazione della retta
• Fascio di rette passanti per un punto
• Discriminante di un'equazione di secondo grado

In questa lezione vedremo come si può determinare l'EQUAZIONE della RETTA TANGENTE ALL'ELLISSE e passante per un PUNTO P sia che esso sia ESTERNO all'ellisse, sia che esso APPARTENGA all'ellisse.

Abbiamo visto, nella lezione precedente, che dato un punto esterno all'ellisse, per esso passano due rette tangenti all'ellisse data. Se, invece, il punto appartiene all'ellisse per esso passa una sola rette tangente all'ellisse data.

Per poter risolvere questo tipo di problemi occorre:

• scrivere il FASCIO di RETTE passante per P. La formula da applicare è

  y - y₀ = m (x - x₀).

  
  
  

  Da essa possiamo ricavare il valore di y:

  y = mx - mx₀ + y

• mettere a SISTEMA l'equazione dell' ELLISSE con quella del FASCIO di RETTE passante per P;
• SOSTITUIRE, nell'equazione dell'ellisse, alla y il valore

  mx - mx₀ + y

• porre la CONDIZIONE di TANGENZA

  Δ = 0.

  Infatti, solamente quando il discriminante è uguale a zero la retta è tangente all'ellisse, mentre quando il discriminante è minore di zero la retta è esterna all'ellisse e quando il discriminante è maggiore di zero la retta è secante all'ellisse;

• cercare il valore del COEFFICIENTE ANGOLARE:

  • se il PUNTO P è ESTERNO all'ellisse troveremo DUE valori distinti dato che due sono le rette tangenti all'ellisse;
  • se il PUNTO P APPARTIENE all'ellisse troveremo UN SOLO valore poiché una sola è la retta tangente all'ellisse;
• SOSTITUIRE i coefficienti angolari trovati, o il coefficiente angolare trovato, nell'equazione del FASCIO di rette in modo da individuare le rette, o la retta, tangente all'ellisse.

Esempio:

scrivere l'equazione della retta tangente all'ellisse di equazione

e passante per il punto

P (3; 2).

Iniziamo scrivendo il fascio di rette passante per P:

y -2 = m (x - 3).

Ora ricaviamo il valore di y:

y = mx - 3m + 2.

Mettiamo a sistema l'equazione dell'ellisse con l'equazione del fascio di rette passante per P:

Sostituiamo, nell'equazione dell'ellisse, il valore della y ed eseguiamo i calcoli:

Ora troviamo il valore del discriminante e lo poniamo uguale a zero:

A questo punto risolviamo in modo da trovare il coefficiente angolare:

Poiché abbiamo trovato un solo coefficiente angolare possiamo dire che il punto P appartiene all'ellisse e vi è una sola retta tangente all'ellisse e passante per tale punto. Quindi, andiamo a sostituire il coefficiente angolare trovato nell'equazione del fascio di rette:

y = mx - 3m + 2

y = (-1)x -3(-1) + 2

y = -x + 3 +2

y = -x + 5.

Questa è l'equazione della retta tangente all'ellisse e passante per il punto P (3; 2).

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