EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA E PARALLELA AD UNA RETTA DATA

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Per comprendere meglio questo argomento, leggi prima le seguenti lezioni:

• Equazione della circonferenza
• Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza
• Equazione della retta tangente alla circonferenza e passante per un punto P
• Equazione della retta tangente alla circonferenza e passante per un punto P appartenente alla circonferenza
• Formule di sdoppiamento nella circonferenza
• Equazione della retta tangente alla circonferenza e passante per un punto P
• Equazione della retta tangente alla circonferenza e passante per un punto P
• Retta parallela ad una retta data e passante per un punto
• Coefficiente angolare

In alcuni esercizi viene chiesto di trovare l'equazione della RETTA TANGENTE ad una CIRCONFERENZA conoscendo:

• l'equazione della CIRCONFERENZA;
• l'equazione di una RETTA PARALLELA alla tangente cercata. Questa retta la chiamiamo y' e ipotizziamo che abbia come equazione

y' = m'x + n'.

Per risolvere questo tipo di problema si deve partire dalla considerazione che due RETTE sono PARALLELE quando hanno lo STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE.

Quindi, data l'equazione generale della retta:

y = mx + n

e poiché

m = m'

possiamo sostituire ad m il valore di m' dato che i due coefficienti angolari devono essere uguali

y = m'x + n.

A questo punto:

• mettiamo a SISTEMA l'equazione della CIRCONFERENZA con l'equazione della RETTA appena trovata;
  
  
• SOSTITUIAMO, nell'equazione della circonferenza, alla y il valore

  m'x + n
  
  

• poniamo la CONDIZIONE di TANGENZA,

  Δ = 0
  
  

• andiamo a cercare il valore del TERMINE NOTO n;
  
  
• SOSTITUIAMO il valore del termine noto nell'equazione della retta y. Abbiamo così trovato l'equazione della retta tangente alla circonferenza e parallela alla retta data.

Esempio:

scrivere l'equazione della retta parallela alla retta x - y = 0 e tangente alla circonferenza di equazione x² + y² - 4x + 6y + 5 = 0

La retta da noi cercata è del tipo:

y = mx + n.

Questa retta deve essere parallela alla retta

x - y = 0

cioè le due rette devono avere lo stesso coefficiente angolare.

Il coefficiente angolare della retta

x - y = 0

è

-a/b = -1/(-1) = 1.

Questo significa che noi cerchiamo una retta dove

m = 1

cioè del tipo

y = (1)·x + n

y = x + n.

Ora scriviamo il sistema formato dalla equazione della circonferenza e dall'equazione di questa retta:

Nell'equazione della circonferenza, sostituiamo la y con x + n:

x² + y² - 4x + 6y + 5 = 0

x² + (x + n)² - 4x + 6(x + n) + 5 = 0

x² + x² + n² + 2xn - 4x + 6x + 6n + 5 = 0

2x² + 2xn - 4x + 6x + n² + 6n + 5 = 0

2x² + 2xn + 2x + n² + 6n + 5 = 0

2x² + x(2n + 2) + (n² + 6n + 5) = 0.

Poniamo la condizione di tangenza

Δ = 0

b² - 4ac = 0

(2n + 2)² - 4 (2) (n² + 6n + 5) = 0

4n² + 4 + 8n - 8n² - 48n - 40 = 0

-4n² - 40q - 36 = 0.

Cerchiamo il valore di n:

Quindi le due soluzioni sono:

n₁ = (40 - 32)/ (-8) = 8/(-8) = -1

n₂ = (40 + 32)/ (-8) = 72/(-8) = -9.

Quindi le due rette tangenti alla circonferenza e parallele alla retta data sono:

y = x - 1

y = x - 9.

Lezione precedente - Lezione successiva

Indice argomenti su equazione della circonferenza

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