EQUAZIONI RECIPROCHE
- Equazioni di primo grado ad una incognita
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Inverso di una frazione
- Frazioni particolari
- Equazioni reciproche di prima specie di quarto grado
- Equazioni reciproche di prima specie di terzo grado
- Equazioni reciproche di prima specie di quinto grado
- Equazioni reciproche di seconda specie di quarto grado
- Equazioni reciproche di seconda specie di sesto grado
- Equazioni reciproche di seconda specie di terzo grado
- Equazioni reciproche di seconda specie di quinto grado
L'equazione del tipo
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + .... + a1x+ a0 = 0.
si dice RECIPROCA quando:
- i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono UGUALI;
- i COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi sono OPPOSTI.
In questo caso, se il GRADO dell'equazione è PARI, deve MANCARE IL TERMINE EQUIDISTANTE DAGLI ESTREMI.
Nel primo caso si parla di equazione RECIPROCA DI PRIMA SPECIE.
Nel secondo caso si parla di equazione RECIPROCA DI SECONDA SPECIE.
Quindi:
EQUAZIONE RECIPROCA DI PRIMA SPECIE
COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi UGUALI
Esempio:
+5x4 +x3 -6x2 +x+5= 0
EQUAZIONE RECIPROCA DI SECONDA SPECIE
COEFFICIENTI DEI TERMINI ESTREMI e di quelli EQUIDISTANTI dagli estremi OPPOSTI.
Esempi:
-
grado
DISPARI
(n = 5)
3x5 +2x4 -8x3 +8x2 -2x -3 = 0
- grado
PARI
(n = 4)
3x4 +7x3-7x -3 = 0
manca il termine equidistante dagli estremi (x2)
Queste equazioni si dicono RECIPROCHE perché, se sono soddisfatte da
x = α
si legge x uguale alfa -
(alfa è la prima lettera dell'alfabeto greco)
sono soddisfatte anche dal loro RECIPROCO o inverso ovvero da
x = 1/α.
Immaginiamo di avere l'equazione
ax4 + bx3 + cx2 +bx+ a= 0.
Come possiamo notare essa è un'EQUAZIONE RECIPROCA.
Se α è una radice della nostra equazione significa che sostituendo α alla x l'equazione si annulla.
Quindi dovrà essere
a α 4 + b α 3 + c α2 +b α + a= 0.
Affinché anche 1/α possa essere una soluzione dell'equazione è necessario che, anche sostituendo tale valore alla x, l'equazione si annulli. Effettuiamo tale sostituzione:
a(1/α)4 + b(1/α)3 + c(1/α)2 +b(1/α)+ a.
Essa può essere scritta nel modo che segue:
Eseguiamo la somma e avremo:
Il numeratore della frazione è uguale a:
aα4 + bα3 + cα2 +bα+ a
solamente scritta con un ordine diverso.
Ma abbiamo detto che α annulla questa equazione e di conseguenza sarà nullo anche il numeratore della frazione:
Se il numeratore di una frazione è zero, la frazione è uguale a zero.
Ecco allora che abbiamo dimostrato che anche 1/α è una radice della nostra equazione.
Nelle lezioni successive vedremo come è possibile risolvere le EQUAZIONI RECIPROCHE DI PRIMA E DI SECONDA SPECIE.
Chiaramente anche un'equazione di secondo grado può essere reciproca. Ad esempio:
4x2 - 2x -4 = 0.
In questi casi, per risolvere l'equazione, usiamo come al solito la formula risolutiva.
