FUNZIONE ESPONENZIALE
Dopo aver parlato dalle POTENZE di un NUMERO REALE POSITIVO ad ESPONENTE REALE possiamo introdurre le FUNZIONI ESPONENZIALI.
Esaminiamo la funzione
y = ax
con
che si legge
a appartenente ai reali positivi meno l'insieme formato dall'elemento uno.
Questo tipo di funzione prende il nome di FUNZIONE ESPONENZIALE di BASE a.
Del perché sono esclusi i reali negativi dovrebbe essere chiaro dopo aver letto la lezione precedente.
Vediamo, ora, perché escludiamo anche il numero uno.
Nella lezione precedente si è detto che uno, elevato a qualsiasi numero reale, è sempre uguale ad uno.
Quindi se
a = 1
y = ax = 1x = 1
cioè
y = 1.
In altre parole per
a = 1
la funzione è una COSTANTE per qualunque x appartenente ai reali.
Quindi possiamo dire che una funzione esponenziale è una funzione del tipo
y = ax
con a numero reale positivo diverso da 1.
Passiamo, quindi, ad esaminare i due casi in cui
a > 1
a < 1.
Partiamo dal primo caso
a > 1.
Per esaminare questo caso ricorriamo ad un esempio. Ipotizziamo che
a = 2.
La nostra funzione diventerà
y = 2x.
Vediamo quali valori assume la funzione, al variare di x nel campo dei numeri reali.
Attribuiamo ad x alcuni valori casuali, ad esempio:
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
e osserviamo che i corrispondenti valori di y saranno
2-3, 2-2, 2-1, 20, 21, 22, 23
ovvero
1/(2)3, 1/(2)2, 1/(2)1, 1, 2, 4, 8
cioè
1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8.
Usando le coppie di valori appena trovati
| x | y |
|---|---|
| -3 | 1/8 |
| -2 | 1/4 |
| -1 | 1/2 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
tracciamo il grafico della funzione
y = 2x.
Esso è
Osserviamo che:
- tutto il grafico della funzione si trova nel semipiano delle y positive;
- la curva interseca l'asse delle ordinate nel punto di coordinate (0; 1);
- al crescere dell'esponente (quindi della x) cresce anche il valore della y. Pertanto possiamo dire che la FUNZIONE è CRESCENTE;
- mano a mano che la x assume valori negativi via via più piccoli, l'ordinata si avvicina sempre più all'asse delle ascisse, mentre quando la x assume valori positivi via via crescenti, l'ordinata si allontana rapidamente dall'asse delle ascisse. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x all'infinito (che si esprime con il simbolo di ∞), ax tende all'infinito.
Esaminiamo ora il caso in cui
0 < a < 1.
Ricordiamo che a deve essere necessariamente un numero reale positivo, quindi non può assumere valori minori di zero.
Ipotizziamo che
a = 1/2.
La nostra funzione diventerà
y = (1/2)x
che si può scrivere come
y = 2-x.
Vediamo quali valori assume la funzione, al variare di x nel campo dei numeri reali.
Attribuiamo ad x alcuni valori casuali, ad esempio:
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
e osserviamo che i corrispondenti valori di y saranno
23, 22, 21, 20, 2-1, 2-2, 2-3
ovvero
23, 22, 21, 1, 1/2, 1/4, 1/8
cioè
8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8.
Usando le coppie di valori appena trovati
| x | y |
|---|---|
| -3 | 8 |
| -2 | 4 |
| -1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | 1/2 |
| 2 | 1/4 |
| 3 | 1/8 |
tracciamo il grafico della funzione
y = 2-x.
Esso è
In particolare osserviamo che
- tutto il grafico della funzione si trova nel semipiano delle y positive;
- la curva interseca l'asse delle ordinate nel punto di coordinate (0; 1);
- al crescere dell'esponente (quindi della x) diminuisce il valore della y. Pertanto possiamo dire che la FUNZIONE è DECRESCENTE;
- mano a mano che la x assume valori positivi via via più grandi, l'ordinata si avvicina sempre più all'asse delle ascisse, mentre quando la x assume valori negativi via via più piccoli, l'ordinata si allontana rapidamente dall'asse delle ascisse. Questo andamento del grafico viene espresso dicendo che al tendere di x a meno infinito (che si esprime con il simbolo di -∞), ax tende a zero.
Osserviamo, inoltre, che la curva che abbiamo disegnata, è simmetrica rispetto all'asse delle y alla precedente perché
2-x
si ottiene da
2x
cambiando
x in -x.
In altre parole, la seconda curva la otteniamo dal ribaltamento della prima, rispetto all'asse delle ordinate, come si può vedere chiaramente dalla figura sottostante nella quale i due grafici sono stati affiancati:
