PROPRIETA' DELLA DIFFERENZA DI DUE INSIEMI
- Nozione di insieme
- Sottoinsiemi di un insieme
- Sottoinsiemi propri e impropri
- Insieme vuoto
- Intersezione di due insiemi
- Insiemi disgiunti
- Differenza di due insiemi
- Differenza di un insieme con l'insieme vuoto
- Differenza di un insieme con se stesso
- Implicazione logica
Vediamo di quali PROPRIETA' gode la DIFFERENZA DI DUE INSIEMI.
- Se
Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora A meno B è uguale all'insieme A.
Dire che A intersecato B è uguale all'insieme vuoto significa dire che i due insiemi sono DISGIUNTI, cioè che non hanno nessun elemento comune.
Ma se A e B non hanno alcun elemento comune A - B sarà uguale ad A dato che la DIFFERENZA di A e B è l'insieme degli ELEMENTI che APPARTENGONO ad A e che NON APPARTENGONO a B.
Allo stesso modo avremo:
Se A intersecato B è uguale all'insieme vuoto allora B meno A è uguale all'insieme B.
Se A e B non hanno alcun elemento comune B - A sarà uguale a B dato che la DIFFERENZA di B e A è l'insieme degli ELEMENTI che APPARTENGONO a B e che NON APPARTENGONO ad A.
- Se
Se B è sottoinsieme (proprio) di A allora B - A è uguale all'insieme vuoto.
Se B è un sottoinsieme proprio di A significa che OGNI ELEMENTO di B è ANCHE ELEMENTO di A, ma non viceversa.
La DIFFERENZA di B e A è l'insieme degli ELEMENTI che APPARTENGONO a B ma che NON APPARTENGONO ad A. Ma se tutti gli elementi di B sono anche elementi di Ala differenza tra i due insiemi è l'insieme vuoto.
Abbiamo parlato di SOTTOINSIEME PROPRIO.
Vediamo cosa cambia se B è un SOTTOINSIEME IMPROPRIO di A.
Noi sappiamo che dato un insieme A esso ammette sempre DUE SOTTOINSIEMI IMPROPRI:
- A STESSO;
- l'INSIEME VUOTO { }.
Ora:
mentre
-
Infine
La differenza di due insiemi NON GODE:
- della PROPRIETA'
DELL'IDEMPOTENZA. Infatti
- della PROPRIETA'
COMMUTATIVA. Infatti:
Esempio:
A = {1, 2, 5, 6, 8 ,10}
B = {2, 6, 7, 9}
A - B = {1, 5, 8 ,10}
B - A = {7, 9}.
- della PROPRIETA'
DELL'IDEMPOTENZA. Infatti
Per una dimostrazione di queste proprietà si legga Proprietà della differenza di due insiemi.
- Proprietà della differenza di due insiemi- dimostrazione
- Differenza simmetrica
- Proprietà della differenza simmetrica
