INSIEME Q: INSIEME DISCONTINUO
- L'insieme Q: sua inadeguatezza
- L'insieme dei numeri razionali relativi
- Operazioni con i numeri razionali
- Rappresentazione grafica dei numeri relativi
- Quadrato
- La circonferenza e il cerchio
Continuiamo l'esame dei NUMERI RAZIONALI.
Nella lezione precedente abbiamo detto che, non esiste un numero q appartenente all'insieme dei numeri razionali tale che q al quadrato sia uguale a 2.
Ora immaginiamo di avere un QUADRATO il cui lato è uguale ad 1. Lo disegniamo su una retta: la retta dei numeri relativi.
Ecco come si presenta il nostro quadrato:
Abbiamo fissato sulla retta il punto O al quale abbiamo associato il numero 0. Abbiamo poi disegnato sulla retta il numero 1, il numero 2 e così via.
Il segmento OA rappresenta il lato del nostro quadrato ed è pari ad 1.
Ora vogliamo calcolare la diagonale del nostro quadrato. In altre parole vogliamo calcolare la lunghezza del segmento OP.
Per il teorema di Pitagora esso sarà uguale a:
Ora noi sappiamo che OA misura 1.
Sappiamo anche che in un quadrato tutti i lati sono congruenti, quindi anche AP misura 1.
Pertanto possiamo scrivere:
Ma noi abbiamo detto, nella lezione precedente, che non esiste un numero razionale la cui radice quadrata sia 2. Questo ci porta ad affermare che non esiste alcun numero razionale che esprime la misura della diagonale del quadrato rispetto a quella del lato.
Possiamo allora affermare che esistono coppie di segmenti, come in questo caso il lato e la diagonale del quadrato, tra loro INCOMMENSURABILI, cioè tali che il rapporto tra le loro misure non è esprimibile come un numero razionale.
Ora torniamo al nostro quadrato
e disegniamo la circonferenza di centro O avente raggio OP:
Il segmento OB rappresenta uno dei raggi della circonferenza, quindi tale segmento è pari alla radice quadrata di 2:
Il punto B, rappresentato sulla retta, quindi, non individua un numero razionale.
Per questa ragione si dice che Q è un'insieme denso, ma DISCONTINUO.
Cosa significa tutto ciò?
Abbiamo detto che, affermare che Q è un'insieme denso significa dire che, dato un qualsiasi INTERVALLO, ESISTE ALMENO un ELEMENTO INTERNO ad esso. Pertanto, stabiliti arbitrariamente due numeri razionali, esiste sempre un altro numero razionale tra essi compreso e di conseguenza ne esistono infiniti.
Ma Q è anche un insieme DISCONTINUO, cioè in Q ci sono dei buchi. In altre parole tra due numeri razionali ce ne sono alcuni che non appartengono a Q come nel nostro caso la radice quadrata di 2 che non è un razionale.
