RETTA TANGENTE ALL'IPERBOLE E PASSANTE PER UN PUNTO
- L'iperbole
- Equazione dell'iperbole
- Posizione di una retta rispetto all'iperbole
- Fascio di rette passanti per un punto
- Equazione della retta
Nella lezione precedente abbiamo visto quali posizioni può assumere una retta rispetto ad un'iperbole. In questa lezione vedremo come si può trovare l'EQUAZIONE della RETTA TANGENTE all'IPERBOLE e condotta per un DATO PUNTO.
Esempio:
scrivere l'equazione della retta tangente all'iperbole
e passante per il punto P(5;-3).
Per risolvere un problema di questo tipo iniziamo con lo scrivere il FASCIO di RETTE PROPRIO passante per il punto P:
y - y0 = m (x - x0).
Sostituiamo ad x0 e y0 le coordinate del punto P:
y + 3 = m (x - 5).
Ricaviamo il valore della y
y = m (x - 5) - 3
y= mx - 5m - 3.
Ora prendiamo l'equazione dell'iperbole
e sostituiamo il valore della y ottenuta dal fascio di rette passante per P. Avremo:
Eseguiamo i calcoli:
Ordiniamo l'equazione rispetto alla x:
Ora poniamo la condizione
Δ = 0.
Infatti, solamente quando il discriminante è uguale a zero la retta è tangente all'iperbole. Avremo:
b2 - 4ac = 0
(10m2 + 6m)2 - 4 (1-m2) (-25m2 -30m -25) = 0
100m4 + 36m2 + 120m3 - 4 (-25m2 -30m -25 + 25m4 + 30m3 +25m2) = 0
100m4 + 36m2 + 120m3 + 100m2 + 120m + 100 - 100m4 - 120m3 -100m2 = 0
100m4 + 36m2 + 120m3 + 100m2 + 120m + 100 - 100m4 - 120m3 - 100m2 = 0
36m2 + 120m + 100 = 0.
Troviamo il valore di m:
Sostituiamo il valore di m, appena trovato, nel fascio di rette passante per il punto P:
y= mx - 5m - 3
Abbiamo così trovato l'equazione della retta passante per il punto P e tangente all'iperbole.
