PRODOTTO TRA MATRICI
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto come è possibile effettuare il prodotto tra due vettori. Ora vedremo, invece, come possiamo effettuare il PRODOTTO TRA DUE MATRICI.
Supponiamo di avere:
- la MATRICE A di ordine (m x n);
- la MATRICE B di ordine (p x q);
Affinché il prodotto tra le due matrici POSSA ESSERE ESEGUITO è necessario che
n = p
cioè il NUMERO DELLE COLONNE DELLA PRIMA MATRICE
DEVE ESSERE
UGUALE
al NUMERO DELLE RIGHE DELLA SECONDA MATRICE.
Esempio:
A (3 x 4 )
B (4 x 5)
si può eseguire il
prodotto
A (2 x 5 )
B (5 x 3)
si può eseguire il
prodotto
A (3 x 4 )
B (3 x 4)
non si può eseguire il prodotto
Vediamo un esempio concreto.
Le due matrici possono essere moltiplicate perché la matrice A ha un numero di colonne (4) uguali al numero delle righe di B (4).
Una volta appurato che il prodotto tra le due matrici può essere eseguito chiamiamo C la matrice che si ottiene moltiplicando A per B.
L'elemento
c11
cioè l'elemento c che occupa la prima riga e la prima colonna della matrice C
è il PRODOTTO SCALARE tra la PRIMA RIGA di A e la PRIMA COLONNA di B. Ovvero:
c11 = 1·1 + 2·3 + 3·5 + 5·7 = 1 + 6 + 15 + 35 = 57.
L'elemento
c12
cioè l'elemento c che occupa la prima riga e la seconda colonna della matrice C
è il PRODOTTO SCALARE tra la PRIMA RIGA di A e la SECONDA COLONNA di B. Ovvero:
c12 = 1·0 + 2·(-6) + 3·2 + 5·(-8) = 0 - 12 + 6 - 40 = -46.
L'elemento
c21
cioè l'elemento c che occupa la seconda riga e la prima colonna della matrice C
è il PRODOTTO SCALARE tra la SECONDA RIGAdi A e la PRIMA COLONNA di B. Ovvero:
c21 = 2·1 + (-7)·3 + 8·5 + 0·7 =2 - 21 + 40 + 0 = 21.
L'elemento
c22
cioè l'elemento c che occupa la seconda riga e la seconda colonna della matrice C
è il PRODOTTO SCALARE tra la SECONDA RIGA di A e la SECONDA COLONNA di B. Ovvero:
c22 = 2·0 + (-7)·(-6) + 8·2 + 0·(-8) = 0 + 42 + 16 + 0 = 58.
L'elemento
c31
cioè l'elemento c che occupa la terza riga e la prima colonna della matrice C
è il PRODOTTO SCALARE tra la TERZA RIGA di A e la PRIMA COLONNA di B. Ovvero:
c31 = 6·1 + 9·3 + 1·5 +(-3)·7 = 6 + 27 + 5 - 21 = 17.
L'elemento
c32
cioè l'elemento c che occupa la terza riga e la seconda colonna della matrice C
è il PRODOTTO SCALARE tra la TERZA RIGA di A e la SECONDA COLONNA di B. Ovvero:
c32 = 6·0 + 9·(-6) + 1·2 +(-3)·(-8) = 0 -54 + 2 + 24 = -28.
Quindi, la nostra matrice C sarà:
Proprio per il modo come si procede al calcolo del PRODOTTO TRA MATRICI esso viene detto anche PRODOTTO RIGA PER COLONNA.
Sintetizzando possiamo dire che il generico elemento
cij
che si legge
c con i con j
è dato dalla SOMMA dei PRODOTTI degli elementi della RIGA I-ESIMA della matrice A per i corrispondenti elementi della COLONNA J-ESIMA della matrice B.
Il tutto può essere scritto come segue:
che si legge
c con i con j è uguale alla sommatoria per k che va da 1 ad n di a con i con k per b con k con j.
Nelle prossime lezioni vedremo altre considerazioni sul prodotto tra matrici.
