MATRICI ELEMENTARI
In una lezione precedente abbiamo visto cosa sono le OPERAZIONI ELEMENTARI e abbiamo detto che esse sono alcune trasformazioni che, se applicate ad una matrice, portano ad ottenere una MATRICE EQUIVALENTE a quella data, cioè una matrice avente lo stesso ordine e lo stesso rango della matrice data.
Ora dobbiamo dire che le TRASFORMAZIONI ottenibili con le OPERAZIONI ELEMENTARI, si possono realizzare anche:
- PRE-MOLTIPLICANDO la matrice data per una MATRICE IDENTITA' di ordine opportuno alla quale sono state applicate le OPERAZIONI ELEMENTARI che si vogliono considerare;
- POST-MOLTIPLICANDO la matrice data per una MATRICE IDENTITA' di ordine opportuno alla quale sono state applicate le OPERAZIONI ELEMENTARI che si vogliono considerare.
Sempre in quella lezione eravamo partiti dalla matrice A:
Ed avevamo effettuato su di essa le seguenti trasformazioni:
In altre parole avevamo:
- scambiato la prima riga con la terza riga;
- moltiplicato la seconda colonna per 3;
- sommato agli elementi della seconda riga, gli elementi della prima riga moltiplicati per 2.
Ora osserviamo che la prima trasformazione R13 la possiamo ottenere anche partendo da una MATRICE IDENTITA' di ordine 3, ovvero:
Ora su questa matrice eseguiamo l'operazione che vogliamo considerare, ovvero R13:
La matrice appena ottenuta prende il nome di MATRICE ELEMENTARE.
Adesso pre-moltiplichiamo la matrice elementare ottenuta per la matrice data, avremo:
Come possiamo notare abbiamo ottenuto la stessa matrice che avevamo ottenuto spostando dalla matrice A la prima riga con la terza.
Ora osserviamo la seconda trasformazione C2(3). Partiamo sempre dalla MATRICE IDENTITA' questa volta di ordine 4, ovvero
Ora su questa matrice eseguiamo l'operazione che vogliamo considerare, ovvero C2(3):
La matrice appena ottenuta prende il nome di MATRICE ELEMENTARE.
Adesso post-moltiplichiamo la matrice elementare per la matrice che avevamo ottenuto con la precedente trasformazione. Avremo:
Come possiamo notare abbiamo ottenuto la stessa matrice che avevamo ottenuto in precedenza moltiplicando la seconda riga della matrice per 3.
Ora veniamo all'ultima operazione. Sommare agli elementi della seconda riga, gli elementi della prima riga moltiplicati per 2.
Eseguiamo questa operazione, ovvero R21(2), su una matrice identità di ordine 3:
La matrice appena ottenuta prende il nome di MATRICE ELEMENTARE.
Adesso pre-moltiplichiamo questa matrice elementare per la matrice ottenuta dalla trasformazione precedente:
Anche in questo caso abbiamo ottenuto lo stesso risultato visto in precedenza.
Nella prossima lezione chiariremo alcuni aspetti sull'uso delle MATRICI ELEMENTARI.
