INTERSEZIONE DELLA PARABOLA CON GLI ASSI CARTESIANI
- Parabola
- Parabola con vertice nell'origine degli assi
- Equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle y
- Equazione della parabola
- Assi cartesiani ortogonali
- Retta parallela all'asse delle x
- Retta parallela all'asse delle y
- Punti di intersezione di una retta con gli assi cartesiani
- Equazioni di secondo grado ad una incognita
- Risoluzione delle equazioni di secondo grado complete
In questa lezione vogliamo vedere come è possibile stabilire se la PARABOLA INTERSECA gli ASSI CARTESIANI e, se sì, in quali punti.
Ad esempio:
Nell'immagine disegnata la nostra parabola interseca:
- l'asse delle y nel punto A;
- l'asse delle x nei punti B e C.
Come sappiamo l'ASSE delle y ha equazione:
x = 0.
Quindi, per trovare il PUNTO di INTERSEZIONE della PARABOLA con l'ASSE delle y dovremo risolvere un sistema di due equazioni: quella della parabola e quella dell'asse delle y.
Ovvero:
Invece, l'ASSE delle x ha equazione:
y = 0.
Quindi, per trovare il PUNTO di INTERSEZIONE della PARABOLA con l'ASSE delle x dovremo risolvere un sistema di due equazioni: quella della parabola e quella dell'asse delle x.
Ovvero:
Esempio 1:
determinare i punti di intersezione della parabola y = x2 - 3x + 2 con gli assi cartesiani.
Iniziamo col cercare il punto di intersezione della parabola con l'asse delle y:
Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:
y = 0 - 3·0 + 2 = +2.
Il sistema diventa:
Quindi, la nostra parabola interseca l'asse delle y nel punto
A (0; 2).
Ora cerchiamo il punto di intersezione della parabola con l'asse delle x:
Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:
0 = x2 - 3x + 2
che, per comodità, scriveremo come:
x2 - 3x + 2 = 0.
Si tratta di una equazione di secondo grado, la cui soluzione è:
x1 = 1 x2 = 2.
Ciò significa che la parabola ha due punti nei quali interseca l'asse delle x. Essi sono:
B (1; 0) e C (2; 0).
Esempio 2:
determinare i punti di intersezione della parabola y = x2 - 4x + 4 con gli assi cartesiani.
Iniziamo col cercare il punto di intersezione della parabola con l'asse delle y:
Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:
y = 0 - 4·0 + 4 = +4.
Il sistema diventa:
Quindi, la nostra parabola interseca l'asse delle y nel punto
A (0; 4).
Ora cerchiamo il punto di intersezione della parabola con l'asse delle x:
Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:
0 = x2 - 4x + 4
che, per comodità, scriveremo come:
x2 - 4x + 4 = 0.
Si tratta di una equazione di secondo grado, la cui soluzione è:
Quindi, la parabola, interseca l'asse delle x in un solo punto
B (2; 0).
Esempio 3:
determinare i punti di intersezione della parabola y = x2 + x + 1 con gli assi cartesiani.
Iniziamo col cercare il punto di intersezione della parabola con l'asse delle y:
Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:
y = 1.
Il sistema diventa:
Quindi, la nostra parabola interseca l'asse delle y nel punto
A (0; 1).
Ora cerchiamo il punto di intersezione della parabola con l'asse delle x:
Andiamo a sostituire la seconda equazione nella prima:
0 = x2 + x + 1
che, per comodità, scriveremo come:
x2 + x + 1 = 0.
Andiamo a risolvere:
Questa equazione non ha soluzioni. Ciò significa che la nostra parabola non interseca, in nessun punto, l'asse delle x.
Sugli argomenti visti qui torneremo anche nella prossima lezione.
